0:00 सारे रिकॉर्ड ध्वस्त हो चुके हैं। आज पढ़ाई का इतना बम गोला सामान मारेंगे कि सारा इलाका धुआधुआ कर देंगे। हम कहते हैं ना इतिहास में पहली बार भाई इतिहास बनाते हैं हम। हम मेहनत करते हैं। हम एसएससी की दुनिया में दबदबा रखते हैं। अब काहे नहीं जलन होगी। हमारी पहली क्लास पर 3000 से ज्यादा लाइक और हजारों बच्चे वेट कर रहे हैं। लाखों बच्चे इस क्लास को पढ़ेंगे और करोड़ों बच्चों तक यह वीडियो पहुंचेगी। भारत का भी पढ़ेगा इस ससुरा आतंकवादी पाकिस्तान का बालक भी पढ़ेगा और कुछ सीखेगा। मेरे भाई कैसे हैं आप लोग? नमस्ते मेरे भारत देश के प्रताड़ित युवा भाइयों। मैं आपको प्रताड़ित नहीं देख सकता। दुख ही नहीं देख सकता। गणित में कमजोर नहीं देख सकता। उसके बिना आपको सिसकते हुए नहीं देख सकता। ठीक है मेरे भाई? वाह के लिए तो 1:00 नौकरी लेनी पड़ेगी। कामयाब होना पड़ेगा और गणित सीखना पड़ेगा कि जब तक पेपर में गणित की टैटियां नहीं आप मरोड़ोगे रिजनिंग को ध्वस्त नहीं करोगे तब तक आपका जो है कट ऑफ क्लियर ही नहीं होगा। तो प्यारे दोस्त मैं आवाहन कर रहा हूं भारत देश के हर एक उस बच्चे का जो किसी भी कॉम्पिटिटिव एग्जाम की तैयारी कर रहा है चाहे एसएससी हो चाहे रेलवे हो चाहे स्टेट एग्जाम हो चाहे डिफेंस अगर उसको गणित से कप-कपाई आती है सवाल नहीं बनते हैं स्पीड स्लो है और उसकी वजह से वो अपने आप को हीन भावना से ग्रस्त मान रहा है तो ऐसी गोली दवाई मेरे पास है कि आपका गणित मजबूत हो जाएगा और आप पेपर में उछलउछल के सवाल करोगे मेरे भाई क्योंकि हम अपने YouTube चैनल पर 30 क्लासेस में क्लास कोई छोटी-मोटी मीठी नहीं बड़ी-बड़ी चार-चार पांच-प घंटे की क्लास में संपूर्ण मैथ्स अर्थमैटिक एडवांस नंबर सिस्टम पूरा पढ़ाने वाले हैं और धागा खोल देंगे और आज की क्लास में नंबर सिस्टम 2:02 का सिस्टम फाड़ देंगे। संख्या पद्धति दो क्लास में चैप्टर होगा मेरे भाई। जीरो टू हीरो टिके रहना भागना नहीं है। कैसे हो आप मुझे बता दो प्यारे बच्चों। देर से भी नहीं आए हैं हम लोग। दुरुस्त आए प्यारे दोस्तों आपके एग्जाम में अभी महीने हैं। काफी दिन है तब तक हम आराम से जो है इस सीरीज को पूरा कर लेंगे। बिल्कुल बेसिक से। अरे इतना बेसिक पढ़ाऊंगा तो आप कहोगे सर सब पानी पानी हो गया। ठीक है? और उसके बाद सवाल भी मस्तमस्त लेंगे एकदम। है ना? चीज मस्त नहीं सवाल मस्त करेंगे प्यारे दोस्त। ठीक है? इस सीरीज में क्लास पूरा करेगा उसका सिलेक्शन। देखो भाई जो इस सीरीज को पूरा करेगा गणित भी सीखेगा, स्पीड भी बढ़ेगी, एक्यूरेसी भी बढ़ेगी और सिलेक्शन के करीब भी पहुंचेगा। बिल्कुल फ्री में YouTube पर वो प्रीमियम कंटेंट मिलने वाला है जो कहीं नहीं है। बाकी जगह बस पागल बनाया जाता है। चैप्टर के नाम पे चैप्टर का आधा आधा आधा आधा भी 3:03 नहीं आपको पढ़ाया जाता। ऊपर ऊपर से आपको जो है दे दिया जाता है। हम आपको घुस के मजा देंगे प्यारे बच्चों पूरा फीलिंग आपको आएगा। ठीक है जी। तो नंबर सिस्टम आज पढ़ेंगे। जितने भी बच्चे हैं सब जाके हमारा टेलीग्राम चैनल मैथ्स बाय गगन प्रताप जाइन कर लो क्योंकि इस क्लास की पीडीएफ कांसेप्ट की पीएजी सवालों का कंपाइलेशन इसी टेलीग्राम चैनल पर और इस पूरे क्लास का हैंड रिटन नोट्स जिसका प्रिंट आउट भी निकलवा सकते हो दुकान पे जाके इसी टेलीग्राम चैनल पे मिलने वाला है। यह पूरी सीरीज चलेगी इसी YouTube चैनल पर। सब बच्चा सब्सक्राइब कर लीजिए। टारगेट है 1 लाख प्लस बच्चे जुड़ने चाहिए आज के दिन हमारे पास। ठीक है बच्चों? शेयर कर दो कि जो मैं पढ़ा रहा हूं वो पढ़ो। आप खुद से प्रैक्टिस भी करो वो भी फ्री में। पढ़ो भी फ्री में, प्रैक्टिस भी फ्री में। कैसे टेस्ट एप्लीकेशन पे जाइए प्यारे दोस्तों। अरे स्पेशल बूस्टर बा बन रखा। का पढ़ाने वाले हैं जी? नंबर सिस्टम आपको पढ़ाने वाले हैं। देखिए नंबर सिस्टम के अरे 50-50 4:05 क्वेश्चन के 30-30 मिनट के टाइमर के साथ ये 400 सवालों के टेस्ट फ्री डले हुए हैं। यहां से पढ़ा वहां से जाके प्रैक्टिस कर ली। है कि नहीं मस्त चीज? तो सब बच्चे सिलेक्शन वे टेस्ट टैंकिंग एप्लीकेशन अपने फोन में लगा लो। दबा के प्रैक्टिस करो। पढ़ो और प्रैक्टिस करो और उसको ब्लॉक कर दो। समझे ना? जब तक सिलेक्शन ना हो जावे। तो प्यारे दोस्त यह स्कीम राजू भाई की 21 दिन में पैसा डबल ये स्कैम है कोनो डबल नहीं होता ये पैसा डबल नहीं होता 21 दिन में अरे बड़ी मेहनत लगती है हां लेकिन ओरिजिनल स्कीम हमारी है प्यारे दोस्तों कि 30 क्लासेस में मैथ्स खत्म तो 30 क्लासेस तो कम से कम 100 घंटा तो पढ़ सकते हैं। हेम वानखड़ जी पढ़ेंगे कि नहीं दुष्ट ये हैं? नहीं पढ़ोगे तो इंजेक्शन लगा दूंगा। एथेनॉल मिक्स पेट्रोल के जो गडकरी जी डलवा रहे हैं गाड़ियों में। समझे? [हंसी] आधा साल बीत चुका है। जनवरी से जून फुर्र हो चुका। जुलाई से दिसंबर ये छ महीने आपकी जिंदगी के मतलब पूरी जिंदगी सवार सकते 5:07 हैं। या तो आप जवानी में एक आध साल मेहनत कर लो या बुढ़ापे में मेहनत करते रहना जिंदगी भर मजदूरी करते रहना, तरसते रहना पैसे पैसे के लिए। तो छ महीने आपकी जिंदगी के सबसे कीमती हो सकते हैं। आज 1 जुलाई से ये बैच स्टार्ट हो रहा है। ये एसएससी, रेलवे, स्टेट, डिफेंस, पुलिस, कांस्टेबल सभी एग्जाम्स के लिए बिल्कुल बेसिक से जीरो टू हीरो और सभी एग्जाम के क्वेश्चंस मैं आपको करवाऊंगा बच्चों। ठीक है? तो नंबर सिस्टम हम शुरू पढ़ पढ़ना शुरू कर चुके। क्या आप खुश हैं? पढ़ने के लिए तैयार हैं? लाइक कर दो। ऑर्गेनिक ये हमारे चैनल पहली बार 500 5000 बच्चे लाइव इस क्लास को पढ़ रहे हैं। बहुत-बहुत धन्यवाद भारत की बच्चा जनता प्यारे बच्चों कैसे हो? मजा आ गया। मौसम बांध दिया तुमने। ठीक है? पर दिल मांगे मोर। 51,000 का चढ़ावा चढ़ चुका है। लेकिन ये चढ़ावा और आगे बढ़ते रहना चाहिए। 6:07 एस शाबाश। वेरी गुड प्यारे दोस्त नंबर सिस्टम क्लास वन का पढ़ेंगे जी हम आज हम पढ़ेंगे क्लासिफिकेशन ऑफ नंबर्स संख्याओं का वर्गीकरण संख्याओं को जाति प्रजातियों में बांट देंगे दंगा करवा देंगे आज समझे रिमेंडर थ्योरम भाज्य बराबर भाजक गुणा भागफल प्लस शेषफल अरे भाग करना सिखाएंगे बिल्कुल डिविजिबिलिटी रूल विभाज्यता के नियम कटेगा कि नहीं कटेगा जैसे तुम्हारा कटा वैसे संख्या कट रही है कि नहीं आज सिखाया जाएगा दोस्तों दोस्त आपको वहां के बाद आप देखो सिस्टम देखो कितना ऑर्गेनिक हम पढ़ाते हैं। ऐसा नहीं कि एक लौंडे ने ₹00 तनख्वाह पे उसको लौंडे ने सवाल बना के दे दिए। सीट पीपीटी बना के दे दी पढ़ा दिया। ऐसा है वानखेड़े क्या? नहीं मेहनत करते हैं मेरे भाई। ये पिछले एक साल के एसएससी की हिस्ट्री है। पिछले एक साल में एसएससी लगभग 7000 सवाल पूछ चुका है। अलग-अलग पेपर में सीजीएल, सीचएसएल, सीपीओ, एमटीएस सिलेक्शन पोस्ट में मिला के। इसमें नंबर सिस्टम चैप्टर से 464 सवाल आए हैं। 7:08 यानी कि 100% में लगभग 7% वेटेज इस नंबर सिस्टम का है। देखो पेपर में सबसे ज्यादा आता है मेंसुरेशन ज्योमेट्री। फिर उसके बाद अर्थमैटिक मैथ में सबसे ज्यादा आता है लाभ हानि। लाभ हानि के बाद अगर पूरे गणित का सबसे महत्वपूर्ण कोई चैप्टर है तो नंबर सिस्टम। ये आप देखो। नंबर सिस्टम के सामने जो आप पढ़ते हो ना एसआई सीआई टाइम एंड वर्क है ना ये एवरेज मिक्सचर एलगेशन रेश्यो इनकी कोई औकात नहीं है। सबसे ऊपर ज्योमेट्री मेंसुरेशन लाभहानि वाके बाद नंबर सिस्टम ही ओरा बनाए बैठा है। 1 लाख लाइव चाहिए बेटे तब पढ़ाना शुरू करूंगा। हां। ठीक है? तो नंबर सिस्टम का पेपर में वेटेज लगभग 7 से 8% है। यानी कि चाहे एसएससी हो, चाहे रेलवे हो, चाहे स्टेट एग्जाम वाले हो। अगर वो 100 सवाल परीक्षा में बनाते हैं तो 100 सवालों में सात से आठ क्वेश्चन 8:08 केवल नंबर सिस्टम के रहते हैं। ये केवल नंबर सिस्टम की बात कर रहा हूं। एलसीएम, एचसीएफ, सिंपलीफिकेशन नहीं वो अलग है। समझे ना प्यारे बच्चों? तो ये है यहां नंबर सिस्टम का ओरा। तो आज हम यह पढ़ने वाले हैं और मैं आपको बताऊं नंबर सिस्टम में भी सबसे ज्यादा सवाल आता है क्लासिफिकेशन ऑफ नंबर संख्याओं का वर्गीकरण और डिविजिबिलिटी रूल विभाज्यता के नियम से। ठीक है? नंबर सिस्टम को आज इस तरीके से मत पढ़ना कि यार 25 में से दो-तीन सवाल ही तो आएगा इस चैप्टर से। नहीं। ये पूरे गणित का एक फाउंडेशन है। जैसे अर्थमैटिक का फाउंडेशन बनता है परसेंटेज। लेकिन पूरे ओवरऑल मैथ्स का जो बेसिक बनता है वो नंबर सिस्टम ही बनता है। तो आप ऐसे पढ़िए कि मुझे फाउंडेशन स्ट्रांग करने के नजरिए से पढ़ना है। ठीक है? और एडिक्वटी को नंबर सिस्टम बहुत पसंद है। है ना? पिछले देखिए एक साल में आप देखो कि इस चैप्टर का वेटेज काफी बढ़ा है। देख पा रहे हैं? कि भैया पूरे गणित में लगभग 2025 चैप्टर हैं। 20वें 25वें 9:09 चैप्टर में टॉप फाइव स्थान पर ये आता है। ये आपके पास एक्यूरेट डाटा है। रिसर्च करते हैं बेटा हम लोग। ठीक है ना? जी। अच्छा जी। तो आज हम पढ़ने वाले हैं ये सब बच्चे सिलेक्शन वे टेस्ट हैं। ये एप्लीकेशन अपने फोन में डाउनलोड कर लो। भारत की एकमात्र एप्लीकेशन है जिस पे आपको पिछले छ साल के प्रीवियस ईयर के फुल लेंथ टेस्ट और हर सब्जेक्ट के 10,000 से ज्यादा विद सॉल्यूशन सेक्शनल टेस्ट चैप्टर वाइज टेस्ट मिलेंगे प्यारे बच्चों 50 लाख से ज्यादा बच्चों का भरोसा है इस एप्लीकेशन पर बिना ₹1 ऐड पर खर्च किए आप ही मेरा ऐड हो आप लाइब्रेरी में जा के बताते हो ऐड मेरा क्या है प्या मैं कैसे प्रचार करता हूं यह देखिए यह सिलेक्शन वे है यह सिलेक्शन वॉल है। आप देखो मैं दावे चैलेंज के साथ कर रहा हूं कि पूरे एसएससी के इतिहास में इतने सारे अध्यापक हैं। आदरणीय हमसे ज्यादा सिलेक्टेड बच्चों के साथ खड़ा 10:09 कोई नहीं हो पाया। जितना सिलेक्टेड बच्चे मैं एक छत के नीचे लाया हूं, उसका आधे का आधा भी कोई नहीं ला पाया। यह रिकॉर्ड है। इतने ज्यादा सिलेक्टेड बच्चों की फोटो कहीं और आपको नहीं मिलेगी। प्यारे दोस्तों, यह भीड़ पैसा देके नहीं बुलाई जा सकती। यह इतनी सारी गर्ल्स ऑफिस सुपरिडेंट 300 से ज्यादा ओएस एक साथ मेरे पीछे खड़े हैं। 250 से ज्यादा एएसओ एक साथ एक मंच पर खड़े थे। हैं और 2024 में भी देख रहे हैं प्यारे भाई। लेकिन दिल की इच्छा है एक फोटो ऐसी आपके साथ भी खिंचानी है 2026 का जब रिजल्ट आएगा तब तभी तो पढ़ाने का फायदा है। तो मेहनत करो कि बेटा दिल्ली में कोई बैंकवेट ना बचे कि हम वहां इतनी भीड़ इकट्ठा कर पाएं। इतना पढ़ो इतना सिलेक्शन हम निकालें। ये बच्चे एक-एक सिलेक्टेड बच्चा जब 50-50 100-100 हजारों बच्चों को हमारे साथ जोड़ता है तो हमें किसी चीज की जरूरत नहीं पड़ती और हम सब पे भारी बन के निकलते हैं। ठीक है मेरे दोस्त? मजा आ रहा है तो 11:11 खुद के लिए हमेशा बड़ा सोचो कि मैं ही बनूंगा इनकम टैक्स इंस्पेक्टर, जीएसटी इंस्पेक्टर। मैं ही निचोडूंगा भारत की गरीब जनता को। ठीक है? [हंसी] नहीं बेटा ये गलत बात है। ईमानदार मैं ही बनूंगा। अपने लिए बड़ा सोचो। तुम्हारे लिए छोटा सोचने वाले तो नीच लोग समाज में हैं ही। ये ससुरा ही चोटा बनेगा कुछ। हैं? शकल देखी है? तो अपने लिए बड़ा सोचो। बड़ा सोचोगे, बड़ा टारगेट रखोगे। उच्च मेहनत करोगे तो लक्ष्य जरूर हासिल करोगे मेरे भाई क्योंकि अंततः मेहनत करने से पढ़ने से ही होगा। भाई मैंने तो मेहनत करके लोगों को सफल होते हुए देखा है। मैं खुद मेहनत करके जो है ठीक-ठाक सफल हूं। इतने सारे अभी लाखों बच्चे पढ़ने लग रहे हैं। हैं भाई एक अनाउंसमेंट पे। क्यों? क्योंकि हमने बहुत मेहनत कर मैं अपनी मेहनत पे गर्व करता हूं। जिस दिन आपको अपनी मेहनत पे फक्र होने लगे कह के मैं ही तो हूं चीता। चलता फिरता इंसान के रूप में उस दिन आप सिलेक्शन के करीब पहुंच जाओगे। ठीक है 12:12 बच्चों? तो ये थी शुरुआत। कैसे हैं आप? जोश में पढ़ने के लिए तैयार है। अब मजा आएगा बड़ू। शेयर कर दो। 12:27 [हंसी] ठीक है। हमारा मोटिवेशन एक ही है। हम पढ़ाएं। बच्चे की नौकरी हो। बच्चे की मिठाई हम तक पहुंचे। उसके घर में खुशी आए। वो अपने बहन की शादी कर पाए, मकान बना पाए, कर्जा उतार पाए। यह मेरा मोटिवेशन है। और जो मैं पढ़ा हूं, मेरी मेहनत को बच्चे एकनॉलेज करें। बच्चे लाइक करें, अच्छे कमेंट्स करें। बस इससे ज्यादा हमें आपसे उम्मीद नहीं है। आप कामयाब हो जाओ। यही सबसे बड़ी गुरु दक्षिणा उपहार होगा आपकी तरफ से मेरे लिए और मेरी तरफ से आपके लिए फ्री बैच है। ठीक है? तो आज हम शुरू कर रहे हैं नंबर सिस्टम संख्या पद्धति। बच्चों, क्या आप खुश हैं? एक्साइटेड हैं? पढ़ने के लिए तैयार हैं। कॉन्वेंस लेवल बढ़ चुका है मेरे भाई। तो आज हैं नंबर सिस्टम हम पढ़ रहे हैं। तो बताओ वानखेड़े जी व्हाट इज ए नंबर? नंबर का है जी का है जी नंबर नंबर एक ऐसी मैथमेटिकल वैल्यू है जिसका यूज़ गणना नापने के लिए 13:28 तुलना करने के लिए कम ज्यादा करने के लिए किया जाता है। सब बच्चे जानते हैं। है ना? ऐसे चिन्ह जिनकी सहायता से हम वस्तुओं को गिनते संख्या कहते हैं। ये सब बालक जानता है। [नाक से की जाने वाली आवाज़] ये तो मजाक के लिए है। भाई इंसान इंसान में भी कई तरह के हैं ना हैं। इंसान में अमीर भी हैं, गरीब भी हैं, ईमानदार भी हैं, बेईमान भी हैं। सचिन जैसे भोले भी हैं। है कि नहीं? हमें समझना है कि संख्याओं कितने प्रकार की होती है? संख्याओं की प्रजातियां क्या हैं? पेपर में ये है कांसेप्ट नंबर वन आपके सामने। क्लासिफिकेशन ऑफ नंबर। संख्या पद्धति टाइप वन इससे सवाल नंबर सिस्टम में सबसे ज्यादा इंपॉर्टेंट यही है क्लासिफिकेशन ऑफ नंबर्स मैं कह रहा हूं कि गारंटी से एक सवाल आएगा गारंटी एक सवाल ठीक है बेटा तो उसके लिए मेहनत करते हैं पढ़ना पड़ेगा आइए तो नंबर्स हैं सचिन ठीक है नंबर्स तीन हिस्सों में बांटे गए नंबर्स तीन 14:30 प्रकार के होते हैं सवाल। ठीक है? हैं? देखो, यह थ्योरी ऊपर ऊपर से सभी बता देते हैं। पीपीटी पीएनजी भी देते हैं। पर क्वेश्चंस मैं आपको कराऊंगा। है ना? आप अनुभव करोगे कि हां आपने सीखा है। ठीक है? और लेटेस्ट सवाल हम ज्यादा करेंगे। एसएससी के भी, रेलवे के भी और स्टेट एग्जाम के भी। खुश रहो। मन से पढ़ो प्यारे बच्चों। नंबर्स तीन तरह के होते हैं प्यारे बच्चों। संख्याओं को तीन प्रजातियों में बांट दिया। रियल नंबर्स हिंदी में वास्तविक संख्याएं। इमेजिनरी नंबर्स जिसे हम हिंदी में कहते हैं काल्पनिक संख्याएं और कॉम्प्लेक्स नंबर्स जिसे हम हिंदी में कहते हैं सममिश्र संख्याएं। आपके सिलेबस में ना तो इमेजिनरी नंबर है ना ही कॉम्प्लेक्स नंबर है। ठीक है बच्चों? लेकिन आपको इनकी परिभाषा पता होनी चाहिए। ठीक है ना? कम से कम। रियल नंबर्स या वास्तविक संख्याएं क्या होती हैं? सबसे इंपॉर्टेंट है रियल नंबर्स या वास्तविक संख्याएं। रियल नंबर्स वो नंबर्स होते हैं 15:30 जिनको नंबर लाइन पर लिखा जा सकता है। जिनको नंबर लाइन पर निर्देशित किया जा सकता है वो रियल नंबर्स कहलाते हैं। आप कहोगे सर ये नंबर लाइन क्या है? प्यारे बच्चों ध्यान से सुनिएगा। ये नंबर लाइन है। बीचोंबीच में क्या है? जीरो। जीरो मींस नथिंग न्यूट्रल। जीरो के आगे आप एक कदम चले। ये क्या है? एक पेन। एक और चाइना से खरीद लूं। कितने हो जाएंगे? दो पेन। फिर एक कदम ये तीन ये चार पांच छ 7 8 9 10 और कहां तक चलता जा रहा है? अनंत तक। अनंत तक है ना? ये 0 से आगे बढ़ रहे हैं तो क्या है बेटे? पॉजिटिव। 0 से पीछे आओ। -1 अरे एक कदम पीछे धकेल दिया। -2, -3, -4, -5 अरे कहां तक पहुंच गए बेटा? माइनस अनंत पे पहुंच गए। ये नंबर लाइन है और इस नंबर लाइन पर स्थित हर एक संख्या हैं 1 लाख [चीखने की आवाज़] 16:34 [प्रशंसा] थैंक यू 1 लाख बच्चा पढ़ रहा है। धन्यवाद मेरे भाई। ये शायद एसएससी के इतिहास में पहली बार है। पहली बार ही है ना कि किसी पढ़ाई की वीडियो पर 1 लाख बच्चे लाइव जुड़कर सीरियसली पढ़ रहे हैं। जल ग्रहण करिए इसी बात पे। धन्यवाद आप सभी प्यारी-प्यारी बच्चा जनता का। धन्यवाद। इतना विश्वास प्रेम दिखाने के लिए इसको प्रसारित करो। यह क्लास सभी बच्चों के लिए सभी बच्चों को समझ में आएगा और मजा भी आएगा। ठीक है दोस्त? आइए जी ठीक है तो यह नंबर लाइन है बीचोंबीच में जीरो 1 2 3 4 5 आगे कहां तक जाएगा कोई अंत नहीं है प्लस इनफाइनाइट 0 से पहले -1 -2 -3 -4 -5 -6 डॉट डॉट डॉट माइनस इनफाइनाइट 0 से पहले वाली जो संख्या 17:35 उन्हें बोलते हैं हम नेगेटिव इंटीजर्स यानी कि ऋणात्मक पूर्णांक 0 के आगे क्या है पॉजिटिव इंटीजर्स पूर्णांक यहां यहां आप देखो 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 इनको कहा जाता है इंटीजर्स या हिंदी में पूर्णांक 0 से आगे पॉजिटिव वाले जीरो से पहले नेगेटिव वाले संख्याएं कहां से शुरू होती हैं कौनो पता नहीं माइनस इनफाइनाइट से संख्याएं कहां पे जाके अंत होंगी प्यारे बच्चों कोई पता नहीं प्लस इनफाइनाइट पे तो ये नंबर लाइन है इस नंबर लाइन पर स्थित हर हर एक बिंदु इस नंबर लाइन पर स्थित हर एक संख्या रियल नंबर्स या वास्तविक संख्या कहलाती है। और आपके सामने जो लिखे हुए हैं ये हैं इंटीजर्स या हिंदी में पूर्णांक। समझ में आया? है बच्चों कोई तकलीफ? तो रियल नंबर्स क्या होते हैं? जिनको नंबर लाइन पर डिनोट किया जा सकता है वो रियल नंबर या हिंदी में 18:36 वास्तविक संख्याएं कहलाती हैं। ये सब नंबर लाइन पर लिखे हुए नंबर रियल नंबर्स हैं। अगर आप देखो प्यारे बच्चों तो आपको ये समझ आएगा कि ये नंबर लाइन है। बीचोंबीच में क्या है? 0 के बाद 1 2 3 4 5 0 से पहले -1, -2, -3, -4, -5 यह सब रियल नंबर है। यह है इंटीजर पूर्णांक। इनमें कहीं दशमलव आ रहा है। कहीं बटे में आ रहा है। जितनी भी भिन्न है, जितनी भी फ्रैक्शन है, वो भी इन्हीं के बीच में आएंगी। अब मान लीजिए प्यारे बच्चों, यह क्या है? जीरो से लेके एक ये कितना कदम है? जी एक कदम। कितना कदम है? ये एक कदम है। अब इस एक कदम के मैं पांच इसको पकड़ लेते हैं। ये जीरो से लेके एक तक एक कदम है। इसके पांच टुकड़े कर दूं। पांच टुकड़े तो पहला टुकड़ा क्या जाएगा? 1/5 दूसरा टुकड़ा 2/5। तीसरा टुकड़ा 3/5, चौथा टुकड़ा 4/5, और अगला टुकड़ा 5 / 5, यानी कि वन ही आ गया। यानी कि जितनी भी भिन्न है, वह इन्हीं के बीच में आ रही हैं। इन्हीं के बीच में क्या 19:38 आएंगी? सारी भिन्न आएंगी। सारे दशमलव भी भिन्न और दशमलव अलग बात तो है नहीं। सेम ही बात है प्यारे बच्चों। हम यह पकड़ लेते हैं प्यारे बच्चों। ध्यान से सुनिएगा। ये आपको दिखाई दे रहा है वन और टू। वन से टू के बीच में एक कदम है। वन से टू के बीच में एक कदम है। इसके 10 बराबर हिस्से कर दो। कितने हिस्से कर दीजिए? 10 10 हिस्से कर दो। तो वन वन क्या? ये वन का मतलब है 1 0 टू का मतलब 2 10 हिस्से कर दो। तो अगला क्या आएगा? 1.1 अगला क्या आएगा? 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 आखिर में कहां पहुंच गए? टू पे पहुंच गए। यानी कि जितनी भी दशमलव संख्याएं हैं वो भी इसी नंबर लाइन पर आ रही हैं। इन दशमलव संख्याओं के बीच में भी दशमलव संख्या है। इन दशमलव संख्याओं के बीच में भी डेसिमल हैं। आप ये पकड़ लीजिए प्यारे बच्चों। ये पकड़ लो 1.1 और 1.2 इनके बीच में भी बहुत सारे डेसिमल दशमलव संख्या है। क्या दिख रहा है? 1.1 और 20:39 1 2 1.1 को क्या लिख सकते हैं? 1.10 और 1.2 का मतलब 1 20 है कि नहीं? 10 हिस्से कर दो। कितने हिस्से कर दो? इसके 10 हिस्से कर दो। तो 1.10 क्या आ गए? 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 और 1.2 यानी कि इसी नंबर लाइन पर सारे पूर्णांक हैं। इन्हीं पूर्णांकों के बीच में सारी भिन्न है और इन्हीं पूर्णांकों के बीच में सारी दशमलव संख्याएं हैं। समझ में आया? तो जितना भी माल इस नंबर लाइन पर लिखा जा सकता है, डिनोट किया जा सकता है, वो सब क्या है प्यारे बच्चों? रियल नंबर्स या वास्तविक संख्याएं कहलाती हैं। सबको समझ में आया? जिनको नंबर लाइन पर लिखा जा सकता है, वो रियल नंबर या वास्तविक संख्याएं कहलाती हैं। ठीक है? सब कुछ समझ में आई बात? आगे चलेंगे प्यारे भाई आपके सामने 21:40 इमिनरी नंबर्स या काल्पनिक संख्याएं। काल्पनिक संख्याएं वह होती हैं जिनको नंबर लाइन पर नहीं लिखा जा सकता। जो संख्याएं इस नंबर लाइन पर हैं ही नहीं जिनका प्रैक्टिकली आम जनता में कोई इस्तेमाल नहीं है। वो क्या है? इमेजिनरी नंबर्स। आप कहोगे सर क्या? बच्चों मैं आपसे कहता हूं जरा बताइए कि 36 का अंडररूट क्या है? जब मैं आपसे कहता हूं कि 36 का वर्गमूल क्या है? 36 का अंडररूट क्या है? तो एक ऐसी संख्या बतानी जिसकी दो बार गुणा करके 36 आ जाए। कौन सी संख्या ऐसी? छह। छ 36 का अंडर रूट 6 होता है। लेकिन मैं आपसे कहूं कि बताइए -36 का अंडर रूट क्या है? -36 का अंडर रूट क्या है? तो क्या दुनिया में ऐसी कोई संख्या है जिसकी दो बार गुणा करने पर -36 आ जाए? नहीं है ना? इसलिए अंडर रूट ऑफ -36 यानी कि नेगेटिव संख्या का अंडर रूट क्या है प्यारे बच्चों? इमेजिनरी नंबर्स 22:41 है। काल्पनिक संख्याएं। सबको समझ में आया प्यारे दोस्तों? है भैया? तो प्यारे भाई ध्यान से सुनिएगा। ये क्या है? माइनस देखो वन का अंडरूट क्या होता है? सबको पता है कि वन एक ऐसी संख्या जिसकी दो बार गुणा करने पर वन आ जाए। क्या है? वन। लेकिन मैं आपसे कहूं -1 का अंडर रूट क्या होगा? एक ऐसी संख्या जिसकी दो बार गुणा करने पर -1 आ जाए। ऐसी कोई संख्या नहीं है। पर कल्पनाओं में कल्पनाओं में तो आप भी ऐश्वर्या राय के मालिक हो। है ना? लेकिन कल्पनाओं में हमने मान लिया कि -1 का अंडरूट एक संख्या है इमेजिनरी जिसको हम बोलते हैं आयोटा और i से निर्देशित करते हैं। किससे निर्देशित करते हैं? आई से। तो -1 का अंडरूट हमने क्या मान लिया? आयोटा मान लिया। तो अगर मैं आयोटा का स्क्वायर करूंगा तो क्या आएगा प्यारे बच्चों? -1 क्या आएगा? -1 आएगा। ठीक है मेरे भाई? तो -36 का अंडर रूट कैसी संख्या है? एक इमेजिनरी काल्पनिक संख्या है। -36 के अंडर 23:43 रूट को कैसे लिखेंगे? 36 * -1 लिख सकते हो। 36 का अंडर रूट क्या आएगा प्यारे भाई? छ और -1 का अंडर रूट एक इमेजिनरी काल्पनिक संख्या हमने मान ली कि होती होगी कहीं एलियन के पास जिसकी दो बार गुणा करके -1 आता हो यानी कि आयot तो -36 का अंडर 6 आiot है और आयोटा क्या है एक इमेजिनरी नंबर है एक काल्पनिक संख्या है जी ठीक है तो -14 का अंडर रूट -36 का अंडर रूट इनको यहां बिठाने की कोशिश करोगे नहीं बैठेगा समझे ना प्यारे बच्चों तो ये है इमेजिनरी नंबर नंबर्स। ठीक है? चलिए, उसके बाद आता है कॉम्प्लेक्स नंबर। कॉम्प्लेक्स में ही ना है। कॉम्प्लेक्स हो गया बेटे। कॉम्प्लेक्स नंबर मतलब एक ऐसी संख्या जिसमें रियल नंबर भी आता हो और इमेजिनरी नंबर का भी हिस्सा आता हो। रियल नंबर प्लस इमेजिनरी नंबर। एग्जांपल के लिए 5 + 2 आयot। पांच क्या है? रियल नंबर देखो यहां दिख रहा है नंबर लाइन पे। और आयोटा क्या है? काल्पनिक। तो रियल प्लस इमेजिनरी 24:44 मिलके क्या बन गया? कॉम्प्लेक्स कॉम्प्लेक्स नंबर। ठीक है? देखो थोड़ा पेशेंस बना के चलना पड़ेगा मेरे भाई। ना समझ में आए तो इग्नोर कर दो। वो भी तो करती है तुम्हें। फिर भी लगे रहते हो। लगे रहना है। समझे ना मेरे भाई? भाग के नहीं जाना। तो रियल नंबर्स वो नंबर्स होते हैं जिनको इस नंबर लाइन पर निर्देशित किया जा सकता है। है कि नहीं? इमेजिन नंबर जो इस नंबर लाइन पर है ही नहीं। यानी कि नेगेटिव संख्या का एक तरीके से स्क्वायर रूट। कॉम्प्लेक्स नंबर माने रियल नंबर प्लस इमेजिनरी नंबर्स। अब बताइए आप मुझे इसमें सवाल इतनी सी बात पे भी पेपर में सवाल आते हैं। पर बालक करता कहां है? आइए जी सिलेक्शन फेस 2025 में सवाल आया व्हाट डस ईच पॉइंट ऑन ए नंबर लाइन रिप्रेजेंट? संख्या रेखा पर प्रत्येक बिंदु क्या दर्शाता है? संख्या रेखा नंबर लाइन पर स्थित हर एक बिंदु रियल नंबर्स या वास्तविक संख्या होता है। अभी पढ़ाया। 25:45 नंबर लाइन पर स्थित संख्याओं को हम क्या कहते हैं? रियल नंबर्स कहते हैं। ठीक है बच्चों? हैं? समझ में आ रहा है भाई? ठीक है मेरे भाई? वो सभी नंबर जिनको नंबर लाइन पर लिखा जा सकता है, रियल नंबर्स कहलाते हैं। तो नंबर लाइन पर होगा रियल नंबर्स। ये बताइए सीएचएसएल 2025 प्री के पेपर का क्वेश्चन आपके सामने है। कौन सी संख्या रियल नहीं है? कौन सी संख्या रियल नहीं है? रियल नहीं है तो का होगी जी इमेजिनरी। बताओ कौन सा इमेजिनरी है? 7 निकल सकता है। 1/ 7 भी इसमें किस-किस ना कुछ वैल्यू होती है। लेकिन मैं आपसे कहूं अंडर रूट ऑफ़ माइनस का ये जो है आपका रियल नंबर नहीं है। इमेजिन नंबर है। क्योंकि दुनिया में ऐसी कोई संख्या है नहीं जिसकी दो बार गुणा करने पर क्या आ जाए? -7 आ जाए। तो इसका आंसर है सब बच्चे ठीक बता रहे हैं। -7 क्लियर है? आप बोलोगे हां जी सर क्लियर 26:46 है। देखो बहुत सारे बच्चों के मन में डाउट आ सकता है कि सर वो सभी संख्याएं जो नंबर लाइन के ऊपर आ जाते हैं क्या कहलाती हैं? रियल नंबर्स। वास्तविक संख्याएं। सारे पूर्णांक इसी पर हैं। सारी भिन्न इसी पर हैं। सारे दशमलव इसी पर हैं। छोटे बड़े सब दशमलव। है ना? बच्चा कहेगा सर मान लीजिए 5 लिखा हुआ है। 5 कहां आएगा? 5 की भी तो कुछ ना कुछ वैल्यू होती है। लगभग जो क्या आता है ये 2.23 समथिंग समथिंग आता है। कुछ ना कुछ लगभग में 5 भी इसी नंबर लाइन के ऊपर होगा। कहां होगा? जी मुझे तो नहीं दिख रहा पांच। आपको दिखता है? समझिए मेरे भाई। सब बच्चे ध्यान से समझो। हेम वानखेड़े जी। मान लीजिए कि ये नंबर लाइन है और इस नंबर लाइन पर यहां क्या है? जीरो। जीरो के बाद वन। वन के बाद दो। दो के बाद तीन। तीन के बाद चार। ऐसे ही चलेगा कि नहीं? ये नंबर लाइन है प्यारे बच्चों। 27:46 हमें क्या दिखाना है? 5। पांच कैसे आएगा? तो प्यारे दोस्त एक बात बताइए। यहां से यहां तक कितने कदम चले आप? दो। पता है? पैमाना लीजिए। पैमाना ले आप एक कदम ऐसे ऊपर चढ़ा दीजिए। एक कदम है भाई। मुझे पता है ना जीरो से ले एक तक यहां कितना कदम हो गया? एक कदम। एक कदम यहां ऊपर चढ़ा दीजिए। चढ़ा सकते हैं। कितने के एंगल पर? 90° के कोण पर। कितने कोण पर? 90 डिग्री के कोण पर। आप बोलोगे जी सर बहुत बढ़िया मजा आ गया। मुझे बताओ प्यारे बच्चों कि ये लंबाई कितनी बनेगी यहां से यहां तक? ये लंबाई कितनी बनेगी? बताओ जी। पाइथागोरस थ्योरम से आप कहोगे तो यह 0 से लेकर 2 तक 2 है और यह है एक। तो यहां अगर आप पाइथागोरस थ्योरम लगाएंगे तो ये बनेगा 2 का स्क्वायर प्लस 1 का स्क्वायर यानी कि 4 + 1 5 तो ये 5 बन गया कि नहीं बन गया पांच। यानी कि मुझे पता चल गया कि ये लंबाई यहां से यहां तक की है भाई। ये 28:47 लंबाई यहां से यहां तक की कितनी है? 5 है और पैमाना लीजिए। पैमाने से नाप के यह यहां पर लगा। जितनी यह है पैमाने से नाप के प्यारे दोस्तों यहां पे टिका दीजिए। तो ये बीच में क्या आ जाएगा यहां पे? पांच। आ गया कि नहीं आ गया? यानी कि जितने भी अंडर रूट है वो भी सब इसी लाइन पर। ये नंबर लाइन बड़ी खतरनाक चीज है। तो 5 भी क्या है? इसी नंबर लाइन पर है इसलिए ये भी रियल नंबर है। है कि नहीं मजेदार चीज? ठीक है बच्चों? भाई ये अंडर रूट पांच है। इतनी पैमाने में लंबाई लो और यहां बराबर बना दीजिए। ये क्या आ जाएगा? पांच आ जाएगा। बोलो मस्त है। तो इसी नंबर लाइन पर सारे पूर्णांक हैं, सारे भिन्न है, सारे दशमलव हैं और सारे ही अंडर रूट वगैरह भी इसी नंबर लाइन पर हैं और यही कहलाते हैं रियल नंबर्स। वास्तविक संख्याएं। आप बोलोगे जी सर मस्त मजा आ गया। अब ध्यान से सुनिएगा प्यारे बच्चों। 29:48 रियल नंबर्स अगर आप ध्यान से देखोगे तो दो तरह का आपको दिखेगा। या तो उसमें दशमलव होगा या दशमलव नहीं होगा। या तो दशमलव होगा या दशमलव नहीं होगा। ध्यान से सुनिएगा। जहां दशमलव नहीं है उन्हें हम कहते हैं इंटीजर्स या हिंदी में पूर्णांक। समझे? ये नंबर लाइन है। दिख रही है नंबर लाइन? ये ज़ीरो। ज़ीरो के बाद वन। वन में कहीं बटे आ रहा है? नहीं आ रहा है ना? वन में कहीं दशमलव है? नहीं। वन में कहीं वन तो पूरा वन है। यानी कि पूरा कदम। पूरा कदम। तो जिन नंबर्स में कोई दशमलव पार्ट नहीं होता वो पूर्णांक कहलाते हैं। तो ये सब क्या है प्यारे बच्चों? पूर्णांक है। इंटीजर्स पूर्णांक। 0 1 2 3 4 5 6 7 8 आगे अनंत तक। -1 -2 -3 -4 पीछे - अनंत तक। तो जीरो के आगे वाले पॉजिटिव पूर्णांक, जीरो से पीछे वाले नेगेटिव पूर्णांक। फिर जीरो कैसा पूर्णांक? जीरो के साथ क्या अत्याचार है? जीरो भाई साहब ना तो पॉजिटिव है ना ही 30:52 नेगेटिव है। जीरो न्यूट्रल मस्त रहता है। किसी के साथ ब्याह नहीं करता। समझे? जीरो ना तो पॉजिटिव है ना ही नेगेटिव है। तो जीरो क्या है? न्यूट्रल पूर्णांक है। समझ में आई बात? आप बोलोगे जी सर बिल्कुल सही। तो ये है पूर्णांक संख्या जो लिखा हुआ है। इन्हीं के बीच में भिन्न आएगा। इन्हीं के बीच में दशमलव आएंगे। इन्हीं के बीच में अंडर रूट वगैरह आएंगे। पूर्णांकों के बीच में ही। ठीक है ना? कोई तकलीफ? इसके बाद है दशमलव। दशमलव आप सभी जानते हैं। हिस्से कर देना प्यारे बच्चों? जैसे एक और दो के बीच में भी तो बहुत सारे यहां पे बिंदु हैं। वो बिंदु कैसे आएंगे? हिस्से करके। तो वही हिस्से क्या कहलाते हैं? दशमलव। समझ में आया प्यारे बच्चों? वो संख्याएं जिनमें पूर्णांक के बाद दशमलव लगा हो दशमलव संख्याएं कहलाती हैं। दशमलव दो प्रकार के होते हैं। एक शांत दशमलव एक अशांत दशमलव। टर्मिनेटिंग डेसिमल और नॉन टर्मिनेटिंग डेसिमल। टर्मिनेटिंग और नॉन टर्मिनेटिंग। शांत और असांत। शांत दशमलव वो होते हैं जहां दशमलव के बाद 31:56 अंक लिमिटेड होते हैं। उन्हें गिन सकते हो। जैसे 037 दशमलव के बाद दो ही अंक हैं। 5192 दशमलव के बाद केवल चार ही अंक है। 27.614 दशमलव के बाद केवल तीन ही अंक है। ये सब क्या है? टर्मिनेटिंग डेसिमल। शांत दशमलव। लेकिन नाम में क्लियर है। नॉन टर्मिनेटिंग नहीं होऊंगा कभी शांत। फड़फड़ाता रहूंगा। हैं? आजादी मांगता रहूंगा आजाद देश में। तो ये नॉन टर्मिनेटिंग डेसिमल है प्यारे भाई। समझे ना? तो ये असांत दशमलव यहां दशमलव के बाद अंकों की संख्या क्या होता है प्यारे बच्चों? अनंत होती है। दशमलव के बाद अंक कभी खत्म नहीं होते। ससुर चलते ही जाते हैं। चलते ही जाते हैं। समझे ना? इनकी बैटरी आदमी की तरह एंड नहीं होगी। 70-80 साल पे ये ससुरा चलता रहेगा। ठीक है? ये देखिए। 0.819191919191919 कोई अंत इसका नहीं है। समझ में आया प्यारे बच्चों? हैं? समझ में आ रहा है तुम्हें? 32:57 बहुत बढ़िया जी। तो ये हो गया हमारा रियल नंबर। एक पूर्णांक या दशमलव। आप बोलोगे सर बहुत बढ़िया बताया। जी। जीरो ना पॉजिटिव है ना नेगेटिव है। अच्छा तो ये आपके सामने है इंटीजर्स पूर्णांक। क्या है सब? ये इंटीजर। संख्याएं कहां से शुरू होती हैं? माइनस इनफाइनाइट। नहीं पता। कहां पे अंत होंगी? नहीं पता प्यारे बच्चों। हां। जीरो से पहले वाले क्या है? यह नेगेटिव। जीरो से पहले वाले हैं नेगेटिव पूर्णांक। ठीक है बच्चों? आप बोलोगे जी सर। जीरो के आगे वाले क्या हैं? पॉजिटिव। समझ में आया प्यारे बच्चों? ध्यान से सुनिएगा। 1 2 3 4 5 6 7 ये सब क्या है? पॉजिटिव इंटीजर। धनात्मक पूर्णांक। इनका एक नाम और है और इनका नाम है नेचुरल नंबर्स। प्राकृतिक संख्याएं। इन्हीं को प्राकृतिक संख्याएं बोलते हैं। 1 2 3 4 5 6 7 8 कहां से शुरू होती है? वन से। समझ में आया? आप बोलोगे 33:58 हां जी सर। 0 से पहले वाले क्या हैं? -1, -2, -3 नेगेटिव। तो आप मुझे एक बात बताना। थोड़ा दिमाग लगाना। मैं आपसे कहूं ये क्या हुआ फिर? क्या हुआ यह? यह वो संख्याएं हैं जो नेगेटिव नहीं है। नॉन नेगेटिव क्या है प्यारे बच्चों? नॉन नेगेटिव। ध्यान से सुनिएगा प्यारे बच्चों। जीरो भी एक नॉन नेगेटिव इंटीजर है। ठीक है बच्चों? ज़ीरो से पहले सब क्या है? नेगेटिव। और ज़ीरो। इसके अलावा क्या बचा? ये सब? नॉन नेगेटिव। तो ये 0 1 2 3 4 5 6 इसमें कहीं भी नेगेटिव का साइन नहीं है। इन्हें बोलते हैं नॉन नेगेटिव। नॉन नेगेटिव का मतलब पॉजिटिव नहीं होता। ठीक है बच्चे? बेईमान आदमी का मतलब यह नहीं है कि जो जाकर रिश्वत मांगे। जो दे चुपचाप जेब में रख ले 34:58 वो भी बेईमान है। तो नॉन नेगेटिव का मतलब है जिसमें नेगेटिव का साइन ना हो। 0 1 2 3 4 5 6 से कहां तक? अनंत तक। ये है नॉन नेगेटिव पूर्णांक। इन्हीं को कहा जाता है होल नंबर्स। क्या कहा जाता है? होल नंबर्स। पूर्ण संख्याएं। हिंदी में क्या कहते हैं इन्हें? पूर्ण संख्याएं। होल नंबर्स के भीतर क्या आएगा? होल नंबर कहां से शुरू होते हैं? जीरो। और जीरो के बाद सारे क्या हैं? पॉजिटिव। तो जीरो और पॉजिटिव पूर्णांक मिला के ही बनता है होल नंबर्स। समझ में आया ना? मस्त मजा आया? ठीक है जी। आप बोलोगे जी सर बहुत बढ़िया। इंटीजर्स अच्छे से समझ में आ गया। सवाल करके बताइए जरा आप मुझे इसी पर थोड़ी सी थ्योरी पढ़ाऊंगा। उस पे सवाल आपको करवाऊंगा। एकदम लेटेस्ट बिल्कुल एकदम लेटेस्ट मजा आएगा। व्हिच ऑफ द फॉलोइंग नंबर्स इज एन इंटीजर? आपके सामने चार सैंपल रख दिए। पूछ रहा है बेटे बता कौन सा पूर्णांक है? कौन सा 36:01 पूर्णांक? 6.28 यहां तो दशमलव घुस गया भाई साहब। ये तो पूर्णांक है ही नहीं। हैं जी दशमलव घुस गया 2/ 3 यह तो भिन्न हो गया ना बेटा बटा में चला गया रूट बार यहां रूट फुट आ गया इसकी वैल्यू आप निकालोगे दशमलव में ही आएगी फिर क्या बचा माइनस का 10 एक पूर्णांक है कैसा पूर्णांक है नेगेटिव पूर्णांक तो -10 यहां पे नेगेटिव पूर्णांक है नेगेटिव इंटीजर है आप बोलोगे जी सर बहुत बढ़िया ये बताइए प्यारे बच्चों अच्छा जी ये हुआ सवाल यस तो देखिए रियल नंबर्स दो हिस्सों में बांट बांटा गया है इंटीजर्स और डेसिमल। इंटीजर मैंने अच्छे से समझा दिया कि 0 1 2 3 4 ये सब क्या है? नॉन नेगेटिव या होल नंबर्स। वन से अगर शुरुआत करेंगे 1 2 3 4 5 6 7 8 ये हैं पॉजिटिव इंटीजर्स या नेचुरल नंबर। दशमलव दो प्रकार के होते हैं। शांत दशमलव और अशांत दशमलव। असली जो खेल आपको समझना है वो यही समझना है दशमलव का। दशमलव बहुत 37:04 गहरी चीज है और यहीं से आपको मजा आना शुरू होगा मेरे भाई डेसिमल दशमलव दो प्रकार के होते हैं शांत और असांत तो शांत दशमलव वो होते हैं जब दशमलव के बाद अंकों की संख्या लिमिटेड होती है। जैसे कि एग्जांपल के लिए 2.6 दशमलव के बाद कितने अंक हैं? केवल एक ही अंक है। तो ये 2.6 क्या है? शांत दशमलव। अगर आप ध्यान से देखना तो 2.6 को अगर मैं दशमलव हटाऊंगा तो बच्चों मैं कैसे लिखता हूं 26 / 10 दशमलव के बाद एक अंक है तो नीचे 10 से भाग करूंगा 26 को अगर आप 10 से भाग दोगे क्या आता है 2.6 तो भिन्न और दशमलव अलग चीज नहीं है। सेम ही चीज है। तो 26 / 10 यानी कि 13 / 5 यानी कि शांत दशमलव टर्मिनेटिंग डेसिमल को मैं फ्रैक्शन के रूप में लिख सकता हूं। लिख सकते हैं कि नहीं? ये 1.74 यहां डेसिमल के बाद दो ही डिजिट है। कैसा दशमलव है? शांत। इसको भी आप लिख सकते हो। अगर आप दशमलव हटाओगे दशमलव के बाद कितने अंक हैं? दो अंक हैं। 38:05 तो नीचे किससे भाग करिएगा? 100 से। किससे कट जाएगा प्यारे बच्चों? यह आपका दो से कट जाएगा। 87 / 50 तो ये भी भिन्न में बदल गया। यानी कि आप किसी भी टर्मिनेटिंग असांत दशमलव को भिन्न में बदल के लिख सकते हो। लिख सकते हैं कि नहीं? अशांत दशमलव वो होते हैं प्यारे बच्चों जो ससुरे कभी खत्म नहीं होते अंत तक चलते रहते हैं। लेकिन अशांत या नॉन टर्मिनेटिंग डेसिमल दो प्रकार के होते हैं। अशांति तो है एक अच्छी वाली एक बुरी वाली। तो नॉन टर्मिनेटिंग डेसिमल दो प्रकार के होते हैं। ध्यान से समझिएगा। पहला है नॉन टर्मिनेटिंग। आसान दशमलव तो है बट रिपीटिंग डेसिमल है। रिपीटिंग बार-बार एक ही पैटर्न रिपीट कर रहा है। बार-बार एक ही पैटर्न रिपीट कर रहा है। इसका नाम है शॉर्ट में इसको बोलते हैं हम रिकरिंग डेसिमल। क्या बोलते हैं? रिकरिंग डेसिमल। असांत तो है लेकिन आवर्ती दशमलव बार-बार उन्हीं अंकों की जो है 39:07 रिपीटेशन आवर्ती पुनरावर्ती करता रहता है। समझ में आया? तो नॉन टर्मिनेटिंग बट रिपीटिंग डेसिमल एग्जांपल के लिए 66 छ दशमलव के बाद पूरी दुनिया का कागज खत्म कर दो लेकिन छह लिखना बंद मत करो तो कैसा दशमलव है भाई ये नॉन टर्मिनेटिंग लेकिन बार-बार छह ही रिपीट हो रहा है बट रिपीटिंग डेसिमल इसको लिख सकते हैं 6 के ऊपर बार6 बार-बार बार-बार समझे ना प्यारे बच्चों आप बोलोगे हां जी सर इसको भी भिन्न के रूप में बदला जा सकता है 6 बार को देखो कैसे बदलेंगे मैं आपको बाद में पढ़ाऊंगा। अभी आप देखना क्या मैं सही बता रहा हूं कि नहीं। दशमलव हटाओ बार हटाओ। अगर बार लगा हुआ है तो किससे भाग करना है? नौ से भाग करना है। 6/ 9 बराबर यानी कि 2 / 3 भाग करके देखो अपनी कॉपी में। दो को तीन से भाग करके देखो मोबाइल में क्या आ रहा है? 66 छ आएगा। उसके बाद क्या है? 71717171 डॉट डॉट डॉट डॉट डॉट डॉट क्या है?71 के 40:07 ऊपर देखो ये क्या है? असांत दशमलव है। बार-बार अंत तक जा रहा है। लेकिन एक ही पैटर्न रिपीट हो रहा है। 7171 71 7171 तो ये नॉन टर्मिनेटिंग बट रिपीटिंग डेसिमल है। इसको भी आप भिन्न में लिख सकते हो। दशमलव हटाइए। दो अंकों पे ऊपर बार है तो नीचे किससे भाग करेंगे? दो बार नाइन से भाग करके देखो 71 को दो बार नौ से। कॉपी में या मोबाइल में 717171771 ही आएगा। यानी कि शांत दशमलव को भी आप भिन्न के रूप में लिख सकते हो अंश बटे हर करके और नॉन टर्मिनेटिंग रिपीटिंग डेसिमल को भी आप भिन्न के रूप में लिख सकते हो। अगला है नॉन टर्मिनेटिंग डेसिमल। नॉन टर्मिनेटिंग डेसिमल बट नॉन रिपीटिंग ना तो कभी शांत होता है। ना तो ससुरा कभी खत्म होता ना ही कोई पैटर्न रिपीट करता। बस अपनी मर्जी से चले जाता है। चले जाता है। तो यह है अशांत और अनावर्ती अनावर्ती दशमलव जिसे कहते हैं नॉन 41:08 रिकरिंग। कुछ भी यहां रिकरिंग या रिपीट नहीं हो रहा। जैसे दशमलव के बाद 71342619 आगे क्या आएगा? कुछ नहीं पता। चले जा रहा है प्यारे बच्चों। 071342619 आगे क्या आएगा? पता नहीं। पता नहीं चला जा रहा है लेकिन खत्म ही नहीं हो रहा। ये कैसा दशमलव है? नॉन टर्मिनेटिंग नॉन रिपीटिंग डेसिमल है। क्या आप इसकी भिन्न बना सकते हो? क्या आप इसकी भिन्न बना सकते हो? मुझे जब यह पता ही नहीं है कि आगे क्या आएगा? ये आगे क्या मुंह फाड़ेगा तो इसका जब मान ही नहीं पता इसकी मुझे एग्जैक्ट वैल्यू ही नहीं पता तो भिन्न का खाक बनाऊंगा। इसलिए आप इनकी भिन्न नहीं बना सकते। आप नॉन टर्मिनेटिंग रिपीटिंग डेस नॉन रिपीटिंग डेसिमल को a बी फॉर्म में नहीं लिख सकते। इस यही वो चीज है जिससे 2025 एसएससी में सबसे ज्यादा सवाल आए। है कि नहीं वानखेड़े 42:09 जी? हैं सबसे ज्यादा इसी से सवाल आए हैं। आप बोलोगे जी सर कैसे पर अभी दिखाते हैं। यहां तक समझ में आया ना? सबको मजा आया? तो दशमलव टर्मिनेटिंग और नॉन टर्मिनेटिंग। लेकिन नॉन टर्मिनेटिंग में भी दो वैरायटी निकल के आई। पहली वैरायटी रिपीटिंग। दूसरी नॉन रिपीटिंग। समझे ना बच्चों? जरा इसके प्रश्न मुझे करके दिखाना। बताइए। एनटीपीसी का सवाल है। हां जी। क्या कह रहा है? सर मैं इंडियन आर्मी में मेडिकल असिस्टेंट एज ए एस एसपी हूं। मुझे लाइव क्लास देखने का टाइम नहीं मिलता। प्लीज इस वीडियो को प्राइवेट मत करवा दो। नहीं भैया यह प्राइवेट नहीं होगी। है ना? क्या आपके लिए अवेलेबल होगी। प्राइवेट नहीं करवाएंगे। आप लाइव पढ़ें। बहुत अच्छी बात है। ठीक है। आपको हम वीडियो दे देंगे। चिंता ना करें। 43:11 रेस्पेक्ट इंडियन आर्मी। भाई जो सुपर चैट में पैसे भेज रहे हैं, वह पैसे खराब ना करें। हम रिफंड कर देंगे। ठीक है? हां। टीम से कह के मैं सभी बच्चों का प्यार भरे मैसेज देख रहा हूं। आइए जी। तो मैंने आपको क्या समझा दिया? जी डेसिमल। डेसिमल समझा दिया। अच्छा ये बताइए। मैंने पढ़ा दिया और निकल गया। टीचर भी पढ़ाकर निकल गया। लेकिन सवाल तो यार ये बालक को पता ही नहीं है। पता है क्या? ए नंबर इज सेड टू बी प्योर रिकरिंग। किसी संख्या को प्योर रिकरिंग कब कहा जाता है? ध्यान से सुनिएगा प्यारे बच्चे। सब मेरी बात ध्यान से सुनिएगा। यह सब है रिकरिंग डेसिमल। रिपीटिंग डेसिमल जहां दशमलव के बाद बार-बार एक ही पैटर्न रिपीट हो रहा है। मैं आपके सामने ऐसे लिख दूं भैया। 12.8 136 1336136 डॉट डॉट डॉट डॉट ये भी कैसा डेसिमल है? 44:12 रिकरिंग डेसिमल है। यहां देखिए दशमलव के बाद क्या आ रहा है? 12.8 आ रहा है। आठ के बाद देखो पैटर्न रिपीट होना शुरू हो गया। 1361361 1336136 ये रिपीटिंग डेसिमल है। अशांत है लेकिन रिपीटिंग डेसिमल है। प्रश्न तो ये आएगा पेपर में। अरे एनटीपीसी में आया भाई। बताओ प्योर रिकरिंग माल क्या होता है? प्योर रिकरिंग। शुद्ध आवर्ती। शुद्ध मतलब बिना मिलावट वाला। बिना मिलावट वाला मतलब प्यारे बच्चों सोचो। तो जिनको ना पता हो ओनली वन डिजिट रिपीट डेसिमल टर्मिनेट भाई जब खुद ही कह रहा है रिकरिंग है तो टर्मिनेट का मतलब ही नहीं है। प्योर रिकरिंग का मतलब है जो रिपीटिंग डिजिट्स हैं वो दशमलव के तुरंत बाद शुरू हो जाएं। आपको यहां जो दिखाई दे रहा है ये सब नॉन टर्मिनेटिंग नॉन रिपीटिंग डेसिमल हैं। लेकिन पहले वाले जो दो हैं यहां दशमलव के तुरंत बाद ही रिपीटेशन शुरू हो गया। छ चलता जा रहा है। 717717171 45:12 ये क्या माल है? प्योर माल है विदाउट एनी मिलावट। लेकिन यहां आप देखोगे प्यारे बच्चों 128 आया पहले फिर उसके बाद रिपीटेशन आया 136136136136 तो ये प्योर माल नहीं है। इसको हम बोल देंगे मिक्स्ड रिकरिंग। क्या बोल देंगे? मिक्स्ड रिकरिंग। बताओ कितनी गहरी बात पूछता है। बालक पढ़ता ही वानखेड़ तुम्हें तो नहीं पता होगा ना यह देखा समझे तो बालकों तुम्हें कैसे पता होगा जी तो यानी कि शुद्ध आवर्ती तभी होगा जब अंकों का दोहराव पुनरावर्ती वाले अंक दशमलव के तुरंत बाद ही गड्ढा खोदना शुरू कर देते हैं। समझ में मजा आया जी? तो यहां आंसर है सी। ठीक है जी। चलिए अब यह वाला बता दीजिए आप। सीएचएसएल प्री 2025 के पेपर में आया इसी पर बेस्ड क्वेश्चन वि इज ए मिक्स्ड रिकरिंग डेसिमल कौन सा मिश्रित आवृत्ति 46:14 दशमलव है रिकरिंग यानी कि नॉन टर्मिनेटिंग है असांत है लेकिन रिपीटिंग है लेकिन रिपीटिंग में भी खास है कौन सा मिक्स्ड आप देखो 255 है ये तो टर्मिनेट थोड़ा सा चला और खत्म हो गया टर्मिनेटिंग दशमलव है 666 अरे प्योर माल है दशमलव के बाद ही रिपीटेशन शुरू हो गया। ठीक है ना बच्चों? यहां देखिए डेसिमल के तुरंत बाद ही 1 2 3 1 2 3 1 2 33 डेसिमल के तुरंत बाद ही रिपीटेशन शुरू हो गया। इस पे आइए आंसर क्या बचेगा? डी। 1 पॉइंट पहले क्या आया? चार। चार के बाद 36 36 और देखो आगे फिर 36 36 चलता जा रहा है। तो ये कैसा है? ये मिक्स्ड रिकरिंग है। यहां दशमलव के तुरंत बाद जो है रिपीटेशन नहीं हुआ डिजिट्स का। ठीक है बच्चों समझ में आया कंटेंट में मजा आ रहा है कोई बात ना चलेगा रात भर आज ठीक है जी 47:17 कोई चला गया तो हड्डी तोड़ दूंगा उसकी ठीक है भस भर दूंगा पूरा पढ़ना है प्लीज एक्सप्लेन इन इंग्लिश लैंग्वेज आल्सो आई विल ट्राई माय इंग्लिश इज वेरी वेरीरी मच बेटर [हंसी] [हंसी] ठीक है भाई मजा आ रहा है बच्चों तो ये है आपका मिक्स्ड रिकिंग डेसिमल अब आगे चलते हैं प्यारे दोस्तों इसके आगे मैं कहूं पूरे क्लास की सबसे इंपॉर्टेंट स्लाइड में से एक है जब हमने इतनी भसड़ फैला दी मेरे भाई कि देखिए रियल नंबर्स दो प्रकार के होते हैं इंटीजर और दशमलव इंटीजर में कोई दशमलव नहीं है। डेसिमल में भी टर्मिनेटिंग और नॉन टर्मिनेटिंग है। नॉन टर्मिनेटिंग के भी प्यारे बच्चों हमने यहां पे दो वैरायटी बना दी। रिपीटिंग वाला और नॉन रिपीटिंग वाला। अब जब इतना सारा रायता फैल गया तो हम इसको समेट लेते हैं और बढ़िया 48:18 नाम रखते हैं। ठीक है ना? जैसे होता है ना इसने चार मर्डर कर रखे। इसने छह, इसने सात, इसने 10 डकैती डाल रखी। तो नाम दे दिया फैमिली को गुंडा फैमिली। ऐसे ही जब ये सब रायता फैल गया तो हमने इनको नाम दे दिया और एक अलग प्रजाति बना दी रियल नंबर या वास्तविक संख्याओं की जो बहुत जरूरी है। बच्चा इससे बहुत डरता है। रैशन नंबर और इररेशनल नंबर। परिमेय संख्या और अपरिमेय संख्या। रियल नंबर्स को ही रैशन और इररेशनल में बांटा गया है। रियल नंबर्स। रियल नंबर्स वैसे होते क्या है? जो नंबर्स नंबर लाइन पर निर्देशित किए जा सकते हैं। रियल नंबर्स या तो पूर्णांक होंगे या दशमलव में होंगे। दशमलव भी कई तरह के हैं। तो रियल नंबर्स को हमने बांटा रैशन नंबर और इररेशनल नंबर। परिमेय और अपरिमेय संख्या। रैशन नंबर्स वो नंबर्स होते हैं जिन संख्याओं को p / q फॉर्मेट में लिखा जा सकता है। जिन संख्याओं को 49:19 न्यूमैरेटर बटे डिनोमिनेटर के रूप में लिखा जा सकता है। है ना? या जिन संख्याओं को दो इंटीजर्स के p और q क्या है? p और q है इंटीजर्स पूर्णांक। जिन संख्याओं को दो इंटिजर्स या दो पूर्णांक के रेश्यो के रूप में दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में अंश बटे हर करके न्यूमैरेटर बटे डिनोमिनेटर करके लिखा जा सकता है वो रैशन नंबर्स कहलाते हैं। लेकिन शर्त ये है कि p को भाग कर रहे हैं q से। ये जो नीचे वाला q है ये 0 नहीं होना चाहिए क्योंकि गणित में आप किसी भी संख्या को 0 से भाग करेंगे तो अनडिफाइन होता है। डिफाइन नहीं होता। ठीक है? तो शर्त है q का मान जीरो नहीं होना चाहिए। तो रैशन नंबर वो नंबर्स होते हैं जिनको दो इंटीजर्स के बटे के रूप में दो इंटीजर्स के भाग के रूप में p / q रूप में लिखा जा सकता है। वो रैशन नंबर्स कहलाते हैं। समझ में आया? तो यानी कि आप देखो रैशन नंबर क्या होंगे? 5 / रैशन नंबर 50:20 है। जितनी भी फ्रैक्शन है सब क्या हैं? रैशन। देखो पांच और सात दोनों इंटीजर हैं। 31 / 4 रैशन नंबर। 31 भी इंटीजर चार भी इंटीजर। -8/13 रैशनल नंबर है। ऊपर -8 नीचे 13 रैशनल नंबर है। समझ में आया प्यारे बच्चों? आप बोलोगे जी सर बिल्कुल सही। 8282 को भी आप लिख सकते हो 82 / 10 82 / 82 / 100 यानी कि क्या हो गया p / q फॉर्म में हो गया है ना अंश बटे हर हो गया 82 / 100 22 / 7 22 / 7 भी क्या है रैशन नंबर ऊपर 22 भी इंटीजर सात भी इंटीजर जितने भी पूर्णांक हैं पूर्णांक भी रैशन नंबर ही हैं। प्यारे बच्चों ध्यान से समझिएगा। पूर्णांक भी क्या है? रैशन नंबर। मैं आपके सामने लिखता हूं। क्या लिख दें भैया? 14। आप कहोगे सर 14 कहां से रैशन 51:22 हुआ? 14 को आप ऐसे नहीं लिख सकते। 14/1 14 भी इंटीजर एक भी इंटीजर। समझ में आया प्यारे बच्चों? आप बोलोगे हां जी सर। आपके सामने लिखा हुआ है - का 316। क्या है? नेगेटिव पूर्णांक है। यह भी रैशन नंबर है। -316 को क्या लिख सकते हो? -316 / 1 तो जितने भी पूर्णांक हैं वो सारे के सारे क्या हैं? रैशन नंबर हैं। जितनी भी संख्याओं को p/ q रूप में लिखा जा सकता है वो सब क्या हैं? रैशन नंबर। इसका मतलब प्यारे बच्चों ध्यान से सुनिएगा आप लोग। मजा आ जाएगा। रियल नंबर्स या तो इंटीजर हैं या डेसिमल है। सारे के सारे इंटीजर्स क्या होते हैं? रैशन नंबर्स होते हैं। आ जाइए प्यारे बच्चों। दशमलव भी तीन प्रकार के टर्मिनेटिंग डेसिमल नॉन टर्मिनेटिंग बट रिपीटिंग डेसिमल मैंने अभी पढ़ाया टर्मिनेटिंग डेसिमल को आप लिख सकते हो भिन्न के रूप में लिख सकते हो कैसे लिख 52:24 सकते हैं बताया अभी मैंने पढ़ा है कि जितने भी अशांत लेकिन रिपीटिंग डेसिमल है उनको भी इस तरीके से भिन्न में बदल के लिखा जा सकता है। यानी कि मेरे प्यारे भाई समझ लीजिए सबसे गहरी बात ये जो डब्बा है ये जो डब्बा है ये क्या है रैशन नंबर ये क्या है प्यारे बच्चों रैशन नंबर या हिंदी में परिमेय संख्याएं रैशन नंबर्स हिंदी में परिमेय संख्याएं रैशन नंबर्स जितने भी पूर्णांक हैं सब के सब लिखे जा सकते हैं बटे वन करके भिन्न में सारे टर्मिनेटिंग शांत ांत दशमलव लिख सकते हो भिन्न में सारे अशांत लेकिन रिपीटिंग डेसिमल सब a बी फॉर्म में लिख सकते हो क्या है ये रैशन नंबर्स हैं क्योंकि इन सबको p / q फॉर्म में लिखा जा सकता है दो इंटीजर के अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है यानी कि रैशन नंबर्स क्या हैं क्या है रैशन नंबर रैशन नंबर्स प्यारे दोस्तों इंटीजर्स 53:25 सारे के सारे पूर्णांक रैशन होते हैं सारे के सारे टर्मिनेटिंग डेसिमल शांत दशमलव रैशन होते हैं। सारे के सारे नॉन टर्मिनेटिंग लेकिन रिपीटिंग डेसिमल रैशन होते हैं। क्योंकि इन सबको आप p / q फॉर्म में लिख सकते हो। प्यारे बच्चों आई ना बात समझ में? ठीक है ना? तो ये जो चीज इतनी सारी अलग-अलग रायता फैला हुआ था, छितरा हुआ था। हमने उसको समेट के क्या नाम दे दिया? रैशन नंबर नाम दे दिया। है कि नहीं बच्चे? आप बोलोगे जी सर यह तो मजा आ गया। दिल गार्डन गार्डन हो गया। है कि नहीं? तो आपके सामने लिखा है 4444 कैसा डेसिमल है? इसको आप भिन्न में लिख सकते हो। 4 / 9 चार को नौ से भाग करना यही आएगा। आ गया ना p / q फॉर्म में। ये कैसा डेसिमल है? रिकरिंग डेसिमल है ना?5688 देखो रिपीटिंग डेसिमल है। इसको भी भिन्न में लिखा जा सकता है। कैसा नंबर है? रैशन नंबर। 34.7373737373 54:27 डेसिमल के बाद पैटर्न सेम ही रिपीट हो रहा है। कैसा है ये? इसको भी आप भिन्न के रूप में लिख सकते हो। कैसा है? रैशन नंबर। रैशन नंबर। ये भी रैशन है। ये भी रैशन है। ये भी रैशन है। 12 12 इंटीजर है। 12 को क्या लिख सकते हो? 12 / रैशनल नंबर है। - 247 लिख सकते हो। - 247 / रैशन नंबर है। ज़ीरो भी रैशन नंबर है। क्योंकि ज़ीरो को आप लिख सकते हो 0 / 1 0 भी इंटीजर वन भी इंटीजर इंटीजर ब इंटीजर। पूर्णांक बटे पूर्णांक क्या है? रैशन नंबर। ये सब रैशन नंबर है। जितने भी पूर्णांक हैं, जितने भी भिन्न है, जितने भी शांत दशमलव है, जितने भी अशांत ये नॉन टर्मिनेटिंग और रिपीटिंग डेसिमल है, सब माल रैशनल नंबर है। बताइए समझ में आया कि नहीं आया? क्लियर हुआ होगा वानखेड़े जी ने बिल्कुल खुर्चा खुर्चा आइए यह रैशन नंबर फिर जो रैशन नंबर के अलावा माल बच गया वो सब क्या है इरैशनल नंबर जो रैशन नहीं है वो इर्रेशनल है जो ईमानदार नहीं है वो बेईमान 55:29 है। इररेशनल नंबर्स वह नंबर्स होते हैं जिनको p / q फॉर्म में नहीं लिखा जा सकता जिन्हें दो पूर्णांक के जिन्हें दो इंटीजर्स के रेश्यो में नहीं लिखा जा सकता। है ना? नंबर्स दैट कैन बी रिटन दैट कैन नॉट बी रिटन इन द फॉर्म ऑफ़ p / q जिन्हें p / q फॉर्म में नहीं लिखा जा सकता। वह सब क्या कहलाते हैं? इररेशनल नंबर्स। ध्यान से सुनिएगा प्यारे बच्चों। मैं आपसे कहता हूं अंडर 2 बताइए अंडर 2 क्या होगा? अंडर 2 क्या होगा? अंडर रूट2 एक ऐसी संख्या बताओ जिसकी दो बार गुणा करने पर दो आ जाए। एक ऐसी संख्या बताओ। मैं आपसे चार का अंडरूट पूछता तो पूरी दुनिया हंस के बता दी सर दो। क्योंकि दो की दो बार गुणा करने पर क्या आता है? चार। दुनिया में ऐसी कोई संख्या है ही नहीं एग्जैक्ट जिसकी दो बार गुणा करने पर क्या आ जाए? दो आ जाए। इसकी लगभग ही वैल्यू निकलेगी 1.414 56:32 डॉट डॉट डॉट डॉट डॉट डॉट डॉट डॉट डॉट डॉट डॉट डॉट और अनंत काल तक चलता रहेगा चलता रहेगा कि नहीं चलता रहेगा यानी कि 2 की वैल्यू लगभग 1.414 और आगे भी ये चलता रहेगा प्यारे बच्चों आगे क्या आएगा नहीं पता नहीं पता मैंने भी इतनी याद कर रखी है आगे क्या आएगा नहीं पता अरे जब यहां की वैल्यू ही नहीं पता क्या है एग्जैक्ट वैल्यू तो आप इसकी भिन्न बनाने ाने बैठोगे तो क्या भिन्न बनेगी? तो जब भिन्न p / q फॉर्मेट में बनेगी नहीं तो क्या है यह इररेशनल नंबर। समझ में आया प्यारे बच्चों? आप बोलोगे हां जी सर। क्योंकि 2 का ये जो मान है ये एक अशांत दशमलव है। लेकिन कैसा? नॉन रिपीटिंग। ध्यान से मेरी बात सुनिएगा। जितने भी इररेशनल नंबर हैं प्यारे दोस्तों उनका डेसिमल एक्सपेंशन नॉन रिपीटिंग होता है। नॉन रिपीटिंग होता है। अरे रुको भाई 3 आप 3 की वैल्यू निकालिए। 57:33 भाई ऐसी संख्या जिसकी दो बार गुणा करने पर तीन आ जाए। कोई नहीं है। 1.732 डॉट डॉट डॉट डॉट लगभग और ये चलता जाएगा प्यारे बच्चों। आगे क्या आएगा नहीं पता। इसकी आप भिन्न में वैल्यू p / q वैल्यू बना ही नहीं सकते। ये कैसा दशमलव दिख रहा है? 1.732 आगे क्या पता कुछ नहीं। ये एक नॉन टर्मिनेटिंग डेसिमल है बट नॉन रिपीटिंग। तो जितने भी नॉन टर्मिनेटिंग और नॉन रिपीटिंग डेसिमल हैं। ध्यान से सुनिएगा प्यारे बच्चों। है ना? एक से दो बार आप रिपीट करके देखना। रिवीजन देखना मेरे प्यारे भाई रिवीजन करके। नॉन टर्मिनेटिंग और नॉन रिपीटिंग डेसिमल जहां दशमलव के बाद प्यारे दोस्तों अंक फुदकते रहते हैं। कभी कोई आ जाता है, कभी कोई आ जाता है अपनी मर्जी से। है ना बच्चों? दशमलव के बाद अनंत अंक है लेकिन कोई भी पैटर्न फिक्स नहीं है। इसकी वजह से आप इनकी भिन्न नहीं बना सकते प्यारे दोस्तों और यही कहलाते हैं फिर आपके इररेशनल नंबर। यानी कि अपरिमेय संख्या। यह 58:35 क्या है? इररेशनल नंबर। सबको मेरी बात समझ में आ गई है? तो इररेशनल नंबर ही होते हैं नॉन टर्मिनेटिंग एंड नॉन रिपीटिंग डेसिमल। नॉन टर्मिनेटिंग नॉन रिपीटिंग डेसिमल ही आपके इररेशनल नंबर कहलाते हैं। लिखा हुआ है ऑल नॉन टर्मिनेटिंग नॉन रिपीटिंग या नॉन रिकरिंग जिसमें कोई दोहराव नहीं होता। ये दशमलव इररेशनल नंबर्स कहलाते हैं प्यारे बच्चों। तो 2 3 1 28 इनकी कोई एग्जैक्ट वैल्यू निकलेगी नहीं। इनकी भिन्न भी नहीं बन पाएगी। तो सब क्या है? ये इररेशनल नंबर है। क्यूब रूट ऑफ़ 32 ये लिखा हुआ है। 6432 87 95 आगे क्या आएगा? वानखेड़े जी पता है क्या आगे क्या आएगा? हैं? तो ये एक नॉन टर्मिनेटिंग लेकिन नॉन रिपीटिंग डेसिमल है। इसकी कोई भिन्न नहीं है प्यारे बच्चों। दुनिया का सबसे बड़ा डाउट बच्चों के बीच में पाई क्या है? व्हाट इज पाई? पाई भी तो 59:39 एक संख्या है। जी। हम दिन भर पाईपाई करते रहते हैं। पाई क्या है? पाई कैसा नंबर है? पाई एक इररेशनल नंबर है। पाई एक अपरिमेय संख्या है। पाई एक अपरिमेय संख्या है। प्यारे बच्चों। बहुत से बच्चों को लगता है कि पाई बराबर 22/7 होता है। पाई का मान 22/7 नहीं होता। पाई की वैल्यू 22/7 के बराबर नहीं है। पाई की लगभग वैल्यू 22/7 के बराबर ये होता है लगभग बराबर का साइन। टेढ़ा बराबर जा रहा है। पाई की लगभग वैल्यू 22 / 7 के बराबर होती है। तो पाई अलग नंबर है। 22 / 7 अलग नंबर है। लेकिन दोनों लगभग बराबर हैं। समझ में आया ना प्यारे बच्चों? तो जब मैं आपसे कहता हूं 22 / 7 ये क्या है? रैशन। क्योंकि p भी इंटीजर और q भी इंटीजर। इंटीजर ब इंटीजर। और पाई क्या है? 1:00:42 इररेशनल नंबर। क्यों? कि जब इंसान ने पाई की वैल्यू निकालनी शुरू करी तो 3.14159 समथिंग समथिंग और दशमलव के 5 लाख अंकों तक सुपर कंप्यूटर निकाल के बैठ चुका है और ये चलता जा रहा है दशमलव और यहां पे कोई भी पैटर्न रिपीट नहीं हो रहा है। नॉन टर्मिनेटिंग और नॉन रिपीटिंग है। पाई जो है वह एक नॉन टर्मिनेटिंग नॉन रिपीटिंग डेसिमल है। इस वजह से पाई एक इररेशनल नंबर है। समझ में आए? बहुत बड़ा डाउट है। कंफ्यूजन खत्म करिए। 22/7 पूछे रैशन। पाई पूछे इररेशनल। मेरा आप लोगों से एक सवाल है। मुझे कमेंट सेक्शन में करके बताना। π - 22/7 बराबर पॉजिटिव आता है या नेगेटिव आता है? यह आपका होमवर्क है। करना। ठीक है बच्चों 1:01:43 इनको भी थोड़ी बुद्धि मारने दो दुष्टों को हैं चलिए तो प्यारे बच्चों हां ये है आपका रियल नंबर्स रैशन और इररेशनल सबको समझ में आया रैशन नंबर्स वो होते हैं जिनको p / q फॉर्म में लिखा जा सकता है। सारे के सारे फ्रैक्शंस रैशन हैं। सारे के सारे पूर्णांक रैशन हैं। सारे टर्मिनेटिंग डेसिमल रैशन हैं। सारे नॉन टर्मिनेटिंग और रिपीटिंग डेसिमल रैशन है। इररेशनल नंबर हैं जो रैशन नहीं है। इर्रेशनल माने जो रैशन नहीं है। जिनको p / q फॉर्म में नहीं लिखा जा सकता। जिनको अंश बटे हर के दो पूर्णांक के रेश्यो में नहीं लिखा जा सकता। जिनकी कोई एग्जैक्ट वैल्यू नहीं होती। पाई एक इरैशनल नंबर है। समझ में आया प्यारे बच्चों? तो देखिए हम कहां से शुरू करते हुए आए। हमने देखा रियल नंबर्स दो प्रकार के। इंटीजर और डेसिमल। इंटीजर्स को मिला दें। इंटजर्स को मिला दें और टर्मिनेटिंग और रिपीटिंग डेसिमल को मिला दें। क्या कहलाएगा? रैशन। और नॉन 1:02:45 टर्मिनेटिंग नॉन रिपीटिंग को हम कहेंगे इररेशनल। मजा आया? आप बोलोगे जी सर इतनी ही बात समझनी थी। अगर आप यह बात समझ चुके हैं तो सवाल ऐसे बताना जैसे राम जी बाण मारते थे रावण को। ठीक है बच्चों? आइए। अब इस पर ऐसा तो है नहीं कि सॉल्व करने के लिए आएगा कि इसको सॉल्व करो। सीजीएल 2025 प्री का बिल्कुल लेटेस्ट सवाल है। जी कौन करेगा? जितने भी बच्चे पढ़ रहे हैं एक बार वीडियो को लाइक कर दो क्योंकि बहुत मेहनत लगी है भाई हमें भी बहुत और अगर आपको समझ में आ रहा है तो सब बच्चे कमेंट में यस लिख दो कि बच्चों को किस ऑर्डर में पढ़ाना है। सवाल कंपाइल करने में, शीट बनाने में हमारी भी बहुत ज्यादा मेहनत और ऊर्जा लगी है। है ना? जी? हां। द सेट ऑफ रियल नंबर इंक्लूड्स वि ऑफ द फॉलोइंग रियल नंबर के सेट में कौन से शामिल है? रियल नंबर के सेट में ओनली रैशन 1:03:47 नंबर हैं, ओनली रैशन नंबर हैं या बोथ रैशन और इररेशनल नंबर हैं या ओनली होल नंबर्स हैं। नहीं होल नंबर्स के अलावा भी बहुत सारी चीजें हैं। तो रियल नंबर के सेट में या तो रैशन होंगे या इरशनल। क्योंकि रियल नंबर्स को ही बांटा गया परिमेय संख्या और अपरिमेय संख्या। तो रियल नंबर्स या तो रैशन होते हैं या इररेशनल। तो क्या है आंसर? सी थ्योरी बताई और उसी पे क्या हुआ? डायरेक्ट सवाल है। है कि नहीं? फुल मजा लीजिए बच्चों। हैं? अभी लेटेस्ट आया। सवाल देखिए सीपीओ 2025 और एनटीपीसी सीबीटी वन 2025 सेम सवाल। सेम बिल्कुल डिट्टो सेम क्वेश्चन। बताइए जरा। दी यूनियन ऑफ रैशन एंड इररेशनल नंबर इज इक्वल टू यूनियन। यूनियन का मतलब प्यारे बच्चों यूनियन आप समझते हैं। यूनियन मतलब कि महिलाएं भी खड़ी हो जाएं और पुरुष भी खड़े हो जाए तो क्या बन गई? पॉपुलेशन। तो यानी कि रैशन नंबर भी शामिल 1:04:49 करें और इररेशनल नंबर भी शामिल करें तो क्या आएगा? रियल नंबर्स। रैशन एंड इररेशनल बोथ क्या कहलाता है? रियल नंबर्स रैशन और इररेशनल बोथ क्या है? यूनियन यानी कि दोनों रियल नंबर्स। अरे देखो बेटे ये तो सेम ही चल रहा है मेरे भाई। आइए खाली स्थान भरें। एव्री रियल नंबर इज आइदर रैशन और डैश डैश डैश हर रियल नंबर या तो रैशन है या इररेशनल है। बताइए सिलेक्शन फज़ 13 2025 में सवाल आया था। सवाल देखो और आंसर मारा पेल के। ठीक है? नहीं हर रियल नंबर या तो रैशन है या इररेशनल है। आइए जी मजा लेते हैं। इफ ए नंबर इज रैशन इट कैन नॉट बी। यदि कोई संख्या रैशन या परिमेय है तो वह संख्या क्या नहीं हो सकती? अगर कोई संख्या रैशन है तो वो इररेशनल नहीं हो 1:05:49 सकती। आंसर क्या है? इररेशनल नंबर। है बच्चों? अगर कोई आदमी नेता है तो वह ईमानदार नहीं हो सकता। अगर रैशन है कोई संख्या तो इरेशनल नहीं हो सकती। जी अगर कोई आदमी ईमानदार है तो नेता नहीं हो सकता। ये केशव ने करेक्ट करा। [हंसी] हम आइए जी सिलेक्शन फज़ 13 2025 का सवाल पकड़िए। इफ वी कंसीडर द सेट ऑफ रैशन नंबर एंड दी सेट ऑफ इररेशनल नंबर व्हाट एलिमेंट्स आर प्रेजेंट इन बोथ सेट? एक जगह रैशन नंबर लिखे हुए हैं और एक जगह इररेशनल नंबर लिखे हुए हैं। ऐसी कौन सी संख्याएं जो दोनों में कॉमन है? जो यानी कि जो रैशन भी हो और इररेशनल भी हो। ऐसा कोई माल है क्या? ऐसा कुछ हो सकता है जो रैशन भी हो और बोला है ना? अगर हम रैशन और इरशनल नंबर 1:06:50 को अलग-अलग देखें तो कौन से ऐसे एलिमेंट है? कौन सी ऐसी संख्याएं जो दोनों में होंगी? यानी कि रैशन भी होंगी और ऐसा कुछ भी नहीं है। या तो रैशन होगा या रैशन। गद्दारी नहीं हर आदमी अपने गैंग में रहेगा। समझे ना? तो यानी कि क्या होगा? एंप्टी खाली कोनो ना ही। सी बता रहे हैं। देखो ये गलती कर दी ना। यहां यूनियन नहीं पूछा। पूछा है ऐसा माल बताओ जो रियल नंबर में भी आता हो और इरैशनल नंबर में भी इरैशनल नंबर है जैसे आपके सामने 6 इरशनल नंबर ये ये बेईमान ये ईमानदार और ये बेईमान तो अलग-अलग हो गया ना कॉमन थोड़ी ना होगा हर आदमी ईमानदार और बेईमान एक साथ नहीं हो सकता तो यहां जो आंसर है वो डी ऑप्शन है प्यारे बच्चों ठीक है ना अगर कोई नंबर इररेशनल है तो वह रैशन नहीं होगा रैशन है तो इरशनल नहीं होगा दोनों में कुछ भी कॉमन नहीं है ठीक है? तो एंप्टी है इस सवाल का आंसर। यह बताइए जी। सवाल सेम टू सेम सीएचएसएल और 1:07:51 सीजीएल 2025 के प्री में आया है। बताओ इंटरसेक्शन ऑफ रैशन एंड इररेशनल। परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का प्रतिछेदन। प्रतिछेदन माने कॉमन। वो संख्या जो रैशन भी हो और इररेशनल भी हो। भाई ऐसी संख्या तो घूमती नहीं सड़क पे। या तो संख्या रैशन है या रैशन है। कुछ भी कॉमन नहीं है। तो क्या आएगा? खाली एंप्टी। सेम ही सवाल थे। अगर आप देखो तो ये सेम ही सवाल थे सिलेक्शन फेस में और सीजीएल सीएचएल में। लेकिन लिखने का तरीका अलग है। यानी कि एक ही सवाल एसएससी के हर एग्जाम में आया है बदल बदल के। एक ही सवाल। तो कितने ढंग से आपको पढ़ना पड़ता है। अरे डी होगा। कैसे सी बता रहे हो? मुंह खूब फोड़ू तुम्हारे। हैं। रैशन इर अगर प्रतिछन मतलब इंटरसेक्शन माने कॉमन रैशन इरशनल में कुछ भी कॉमन या तो रैशन अलग है इरशनल अलग है सब गैंग अलग-अलग चलेगा समझे आइए 1:08:52 आओ जी अगला देखिए ए टर्मिनेटिंग डेसिमल इज ऑलवेज एनटीपीसी देखो एसएससी भी चल रहा है रेलवे भी चल रहा है एनटीपीसी 12थ लेवल सीबीटी वन का एक शांत दशमलव हमेशा क्या होता है शांत दशमलव की भिन्न बना सकते हो और जब भिन्न p / q के रूप में लिख सकते हो एक शांत दशमलव हमेशा एक क्या होता है? रैशन नंबर। रैशन नंबर ही है इंटीजर्स टर्मिनेटिंग, नॉन टर्मिनेटिंग और रिपीटिंग। समझे ना बच्चे? अरे तेरी तो आइए। द डेसिमल एक्सपेंशन ऑफ ए ये प्राइम गलत टाइप कर दिया। दिनेश जी तुम्हारे पैसे कटेंगे। द डेसिमल एक्सपेंशन ऑफ ए रैशन नंबर क्या है यह? रैशन नंबर परिमेय संख्या का दशमलव विस्तार क्या? अगर आप रैशन नंबर को यानी कि कोई संख्या p / q 1:09:56 के रूप में लिखी हुई है। अगर आप इसको दशमलव के फॉर्मेट में लिखोगे तो क्या होगा? नॉन टर्मिनेटिंग एंड नॉन रिपीटिंग नहीं नॉन टर्मिनेटिंग नॉन रिपीटिंग तो इररेशनल होता है टर्मिनेटिंग और यह वाला सही है रैशन नंबर या तो टर्मिनेटिंग शांत होंगे या अशांत भी है तो रिपीटिंग होगा समझ में आया रिपीटिंग डेसिमल मस्त समझाया ना मैंने है वानखेड़े जी बिल्कुल मैंने एकदम चिथरा चिथरा कर दिया सारा कांसेप्ट लिखा हुआ है ना कि भाई ये टर्मिनेटिंग और नॉन टर्मिनेटिंग रिपीट रिपीटिंग क्या है? रैशन और ये नॉन टर्मिनेटिंग नॉन रिपीटिंग इररेशनल। दो बार इसके बावजूद भी अगर आपको देखो कि इतना बढ़िया कंपाइलेशन अरेंजमेंट आपको मिलेगा नहीं। आप दो बार देखना प्यारे दोस्तों आइए। है ना? तो भैया रैशन नंबर का जो डेसिमल एक्सपेंशन है वो क्या है? टर्मिनेटिंग और रिपीटिंग। आओ जी। एकदम लेटेस्ट ताजा सीएचएसएल अभी यही आ रहा 1:10:56 है। मैं क्या करूं? 2021-20 के क्या करवा के करूं? आ ही यही रहा है। हैं? क्लासिफिकेशन ऑफ नंबर्स पे हम मजा आ रहा है बच्चों पढ़ने में? व्हिच वन ऑफ द फॉलोइंग इज ट्रू अबाउट रिपीटिंग डेसिमल? कौन सा कथन रिपीटिंग डेसिमल या आवर्ती दशमलव के बारे में सही है? आवर्ती दशमलव रिपीटिंग डेसिमल ऑलवेज इररेशनल होगा। नहीं नेवर रैशन नहीं। ऑलवेज रैशन रिपीटिंग डेसिमल हमेशा ही रैशन नंबर होते हैं। हर रिपीटिंग डेसिमल को p / q के फॉर्म में लिखा जा सकता है। आंसर सी यार सब बालक ठीक बता रहे हैं बच्चों। वेरी गुड। आइए। द डेसिमल एक्सपेंशन ऑफ एन इररेशनल नंबर। एक अपरिमेय संख्या का दशमलव विस्तार क्या है? अगर आप एक इररेशनल नंबर इररेशनल नंबर माने आपने लिख दिया 3 1:11:57 इररेशनल नंबर है। इसकी वैल्यू आएगी लगभग 1.732 डॉट डॉट डॉट डॉट डॉट डॉट आ गए डर क्या जाने हम तो इररेशनल नंबर का डेसिमल एक्सपेंशन क्या होता है? टर्मिनेटिंग नहीं रिपीटिंग रिपीटिंग तो हो सकता है लेकिन नॉन टर्मिनेटिंग अच्छा रिपीटिंग भी नहीं होगा। नॉन टर्मिनेटिंग एंड नॉन रिपीटिंग। समझ में आया? जी एक इररेशनल नंबर एक अपरिमेय संख्या असांत दशमलव होते कभी टर्मिनेट नहीं होता और ससरा कभी कोई पैटर्न रिपीट भी नहीं होता। उसकी कोई भिन्न बनेगी ही नहीं। तो क्या आंसर है? सी। सब बच्चे ठीक बता रहे हैं। खुश हैं? आइए। सीजीएल प्री 2025 का एक और सवाल करो जरा। 1:12:52 [गहरी सांस लेने की आवाज़] भाई आप 1 लाख लाइक करवाओ जल्दी से। हां मजा आ रहा है ना? [हंसी] कौन सा सही है? चार कथन दिया है। यही आता है इसमें। सही गलत बताना है। सॉल्व मत करो। मेहनत मत करो। तो चुपचाप कुर्सी पे बैठो पैर फैला के और बताओ सही कौन सा है? [हंसी] पहला डेसिमल एक्सपेंशन ऑफ ए रैशन नंबर इज टर्मिनेटिंग। रैशन नंबर का डेसिमल विस्तार टर्मिनेटिंग होता है। ऐसा जरूरी नहीं है। रैशन नंबर का डेसिमल आप खोलोगे तो टर्मिनेटिंग भी हो सकता है और रिपीटिंग भी हो सकता है। यानी कि पहली बात जो है सही नहीं है। दूसरी बात देखें। डेसिमल एक्सपेंशन ऑफ ए रैशन नंबर इज नॉन टर्मिनेटिंग। भाई रैशन नंबर का दशमलव विस्तार 1:13:52 टर्मिनेटिंग भी हो सकता है। नॉन टर्मिनेटिंग रिपीटिंग भी होता है। यहां केवल नॉन रिपीटिंग लिखा है। क्या है गलत? तीसरी बात डेसिमल एक्सपेंशन ऑफ एन इररेशनल नंबर इज टर्मिनेटिंग। एक संख्या है अपरिमेय संख्या। इररेशनल नंबर उसको दशमलव में आप लिखोगे तो टर्मिनेट होगा क्या? दशमलव शांत होगा क्या? नहीं। अगर इररेशनल नंबर में ही इर आ रहा है इर यानी कि अशांत है और कोई भी पैटर्न रिपीट नहीं है। तो यहां डेसिमल एक्सपेंशन एक इररेशनल नंबर का नॉन टर्मिनेटिंग है और नॉन रिपीटिंग है। यानी कि ये वाली बात एकदम सही है। डी ऑप्शन। है बच्चों? इररेशनल नंबर का दशमलव विस्तार। मैंने एक स्लाइड अगर किसी बच्चे ने अच्छे से समझ ली ये एक स्लाइड कहां मर गई ये वाली उसको जिंदगी में कभी रैशन इररेशनल में डाउट नहीं आएगा और इतने सारे मैंने एग्जांपल दे दिए आएगा क्या है नागा 1:14:53 हां जी पुलिस वाले भी देखें हां युगांडा की पुलिस भी देखें कोई दिक्कत ना है ठीक है बच्चों तो इररेशनल नंबर का डेसिमल एक्सपेंशन नॉन टर्मिनेटिंग और नॉन रिपीटिंग आइए जी मजा लेते हैं कौन कौन सा कथन गलत है? सीएचएसएल 2025 में सही बहुत बता दिए। अब गलत भी बताओ। ठीक है? चार आपको कथन दिए। तसल्ली से पढ़ो। गलत ढूंढ के बताओ। एव्री इररेशनल नंबर इज रियल। हर अपरिमेय संख्या वास्तविक होती है। यह बात एकदम सही है। हर इररेशनल नंबर रियल होता है। भाई रियल नंबर का मतलब रैशन प्लस इररेशनल। तो सारे रैशन नंबर रियल हैं। सारे इररेशनल नंबर भी रियल हैं। रियल नंबर को बांटा ही है रैशन और इररेशनल में। समझ में आया प्यारे बच्चों? ठीक है? रैशन एंड इररेशनल नंबर्स आर रियल। परिमेय और अपरिमेय दोनों ही 1:15:54 वास्तविक संख्याएं होती हैं। बिल्कुल सही है। वास्तविक संख्याएं परिमेय अपरिमेय है। एव्री इंटीजर इज रैशन। हर पूर्णांक रैशन है। बिल्कुल सही बात है। कोई भी पूर्णांक आप उठा लीजिए। कोई भी पूर्णांक उसको बटे एक करके बन गया a / b p / q फॉर्म। तो क्या है प्यारे बच्चों? ये रैशन है। एव्री इंटीजर इज इररेशनल। ये बात गलत है। इंटीजर में दशमलव भी नहीं आता। तो इररेशनल कहां से हो जाएगा? तो आंसर क्या आएगा इसका? डी ऑप्शन आंसर है डी ना कोई जरूरत ना है बताओ बच्चों सीएचएसएल 2025 प्री का एक और मैंने सब ले लिया मैंने सब जितना भी था ना हर टाइप का सवाल ले लिया अगर ये लगा लो तो बिल्कुल लेटेस्ट अपडेट हो जाओगे फोन की तरह समझे बताइए कौन सा कथन सत्य है चार कथन है सही वाला बताना है ऑल इररेशनल नंबर नंबर्स आर ये तो सेम आ गया क्या सवाल? 1:16:54 अलग है ना? ऑल इररेशनल नंबर्स आर रियल। ये वाली बात ही सही है। सारे के सारे इररेशनल नंबर रियल होते हैं। सारे रैशन नंबर भी रियल हैं। रियल नंबर को बांटा ही हमने रैशन और इररेशनल में हैं। तो पहला ही सही मिल गया। आंसर ए है। आगे चेक करने की कोई जरूरत नहीं है। लेकिन आप देख लो। मैं बता देता हूं कि बाकी क्यों गलत हो रहे हैं। ऑल रियल नंबर्स आर इररेशनल। गलत है। सारे रियल नंबर्स इररेशनल नहीं होते। कुछ रियल नंबर रैशन हैं, कुछ इररेशनल हैं। यानी कि गलत। रैशन नंबर्स आर नॉट रियल। अरे क्यों? रैशन नंबर रियल है भैया। गलत। इंटीजर्स आर नॉट रैशन। क्यों? सारे के सारे इंटीजर्स रैशन है। सब पूर्णांक को p / q फॉर्म में लिख सकते हैं। गलत। इसलिए पहली वाली बात ही सही है। आइए सिलेक्शन फेज 13 2025 सीजीएल प्री 2025 के पेपर का सवाल है। सेम सवाल दोनों ही पेपर 1:17:56 में बताएंगे जी कौन करेगा। संख्याओं के किस सेट में इंटीजर्स और रैशन नंबर दोनों शामिल हैं? किस सेट में इंटीजर्स भी आते हैं और रैशन भी आते हैं? बताओ। इंटीजर्स और रैशन नंबर नेचुरल में तो नहीं आएंगे। नेचुरल मतलब माने केवल पॉजिटिव इंटीजर्स क्या आ गया? रियल नंबर्स। रियल नंबर्स के अंदर ही इंटीजर हैं, डेसिमल है, फ्रैक्शन है, रैशन है, इररेशनल है। सब माल क्या है? रियल नंबर है। तो रियल नंबर के अंदर ही इंटीजर्स आते हैं और रैशन नंबर आते हैं। ठीक है बच्चों? कोई तकलीफ? ऐसे चलता है। ये है आपके इंटीजर्स। इंटीजर्स किसके अंदर आएंगे? रैशन नंबर के अंदर रैशन और रैशन नंबर किसके अंदर आएंगे? रियल नंबर के अंदर। वास्तविक संख्याओं में रैशन आएगा। रैशन के अंदर ही इंटीजर आएगा। समझे ना प्यारे बच्चों? कोई तकलीफ? तो 1:18:56 यहां पे किस सेट में इंटीजर और रैशन दोनों आएंगे? रियल नंबर्स में। बहुत बढ़िया। ठीक बता रहे हैं बच्चे। गुड। बताइए। ये आ गया आपके सामने। अब देखो इसका मैं टाइप वाइज ऐसे कोई बना नहीं सकता क्योंकि यहां पे क्या है? के सब क्लासिफिकेशन नंबर्स के थ्योरेटिकल सवाल है। तो एक ही टाइप चल रहा है अभी तक। है कि नहीं भाई? बताओ। 2 + 3 को क्लासिफाइड किया जाता है। 2 अब ध्यान से सुनिएगा। यहां आपको दिमाग लगाना है। बहुत से बच्चे रटते हैं। मैं भी पीपीटी बना के रटवा सकता हूं लेकिन रटना नहीं है। मैं आपको सोचना सिखवाना चाहता हूं कि सोचो। हैं? 2 + 3 2 क्या है? इररेशनल। 3 क्या है? इररेशनल। इनको जोड़ोगे तो भी सड़ा हुआ नंबर ही आएगा इररेशनल। ऐसा तो है नहीं। इनको जोड़ के पूर्णांक आ जाएगा कोई। या इनको जोड़ के बढ़िया माल आ जाएगा रैशन। 2 भी इररेशनल, 3 भी इरैशन। तो जोड़ोगे तो भी घटाओगे तो भी 1:19:59 इररेशनल नंबर में इररेशनल नंबर जोड़ रहे हैं। यहां पे रैशन ही आ रहा है। ठीक है? आइए अगला सवाल एनटीपीसी का यह भी लेटेस्ट क्वेश्चन है। बताओ जरा निम्नलिखित में से कौन सा वर्गमूल इररेशनल है? चार आपको वर्गमूल दिए हैं, चार संख्याएं दी हैं। किस संख्या का वर्गमूल इररेशनल या अपरिमेय आएगा? 64 का अंडर 8 इंटीजर आएगा जो कि क्या बन गया? रैशन। 121 का अंडर 1 इतनी बात जानते हैं। 11 को लिखोगे 11 / 1 बन गया रैशन। 169 का अंडरूट 13 13/1 बन गया रैशन या परिमेय। लेकिन 51 का अंडरूट निकलेगा ही नहीं। एग्जैक्ट नहीं निकलेगा प्यारे बच्चों। ये कैसा जाएगा? एक अशांत और नॉन रिपीटिंग डेसिमल जाएगा। तो कैसा है प्यारे बच्चों? ये इररेशनल नंबर है। बहुत बढ़िया। सी ऑप्शन। आइए जी। करिए। यूपीएसआई 2021 का सवाल है। लेटेस्ट 1:21:02 वाले तो इस लेने क्योंकि घटिया थे सब। क्या हुआ? [हंसी] 1:21:29 आइडेंटिफाई द इरशनल नंबर अमोंग द फॉलोइंग मुझे राजा वाली फीलिंग आ रही है ओझा जी बिल्कुल आ रही है [हंसी] 114000 बहुत बढ़िया आइडेंटिफाई द इरशनल नंबर अमोंग द फॉलोइंग आपको दे रखा है इनमें सड़ा हुआ बताना है इररेशनल नंबर 8100 का अंडर रूट 90 क्या हो जाएगा? रैशन। 22/7 भी रैशन। यह भी रैशन आएगा आसानी से। यानी कि ऑप्शन नंबर बी क्या है?451237823 459 अरे क्या है? ये कुछ चलता ही जा रहा है। ये एक अशांत दशमलव है और कोई भी यहां पे रिपीटेशन पैटर्न नहीं दिख रहा। ये नॉन टर्मिनेटिंग नॉन रिपीटिंग है। इसलिए ये क्या हुआ? जी इररेशनल नंबर हुआ। आइए यह बताइए कौन सा रैशन और इंटीजर दोनों हैं? यह एसएससी सिलेक्शन फेस का सवाल है। चार विकल्प दिए हैं। कौन सी ऐसी संख्या जो 1:22:29 रैशन भी है और इंटीजर भी है। 1/2 इंटीजर नहीं है, भिन्न है। 2 एक इररेशनल नंबर है। पाई एक इररेशनल नंबर है। तो क्या बचा? तीन। तीन एक ऐसा नंबर है जो पूर्णांक है और 3/1 रैशन भी है। समझे आप बोलोगे यस सर सारे के सारे इंटिजर्स रैशन होते हैं। जी यह बताइए सीजीएल 2025 प्री का सवाल लेंगे। कौन सी संख्या ना तो रैशन है और ना ही इंटजर। इंटीजर बोला है। कौन सी संख्या ऐसी है जो ना तो रैशन नंबर की श्रेणी में आती है और ना ही इंटीजर है। आप बताओ तो वो है प्यारे बच्चों स्क्वायर 2 यानी कि अंडर रूट 2 का अंडर रूट कोई रैशन नंबर नहीं है और ना ही ये कोई इंटीजर आएगा। एक अशांत नॉन रिपीटिंग डेसिमल आएगा। तो आंसर क्या है? नॉन टर्मिनेटिंग नॉन रिपीटिंग डेसिमल आएगा रूट दो सब बच्चे कर पा रहे हैं आर यू 1:23:30 एंजाइंग यह बताइए सिलेक्शन फेस का सवाल है आपके सामने 2025 का 1:23:51 मजा आ रहा x = 7 /2 एक x = 7/2 एक रैशन नंबर है। y = 27 एक इरैशनल नंबर है। यही है ना बच्चे? तो आपसे क्या पूछा है? x + y क्या है? x + y अब आप देखो x 7/2 हो गया और y 27 है। अब 27 का अंडर रूट तो निकलेगा नहीं। वानखेड़े जी एग्जैक्ट। यानी कि इनको जोड़ेंगे तो रैशन नहीं आएगा। पूर्णांक नहीं आएगा। क्या आएगा? इररेशनल भाई यह तो ठीक है कुछ ना कुछ है लेकिन यह अपरिमेय संख्या है तो जुड़ के भी क्या रहेगी अपरिमेय रहेगी ऑप्शन नंबर बी अब कुछ रटना नहीं है आप इतने बुद्धि वाले हो कि आप खुद से सोच सकते हो बताइए जी एनटीपीसी का प्रश्न है व्हिच ऑफ द फॉलोइंग इज अ रैशन नंबर चार आपको विकल्प दिए कौन सा रैशन है 2 + 5 का स्क्वायर a + b का स्क्वायर करूंगा ूंगा a² + b² + 2ab 2 10 यहां पे 1:24:54 रूट आएगा इररेशनल है 5 इररेशनल है 2 + 5 5 इररेशनल है तो क्या बचा आंसर डी ऑप्शन यही रैशन होना चाहिए देख लेते हैं 2 +1 / 8 का अगर मैं ऐसे गुणा करूं तो क्या आ जाएगा 8 की 2 में गुणा 16 16 मतलब 4 8 * 2 16 16 का अंडर रूट 4 4 + 1 5 तो 5 / 8 का स्क्वायर है तो यह 5 का स्क्वायर 25 और नीचे 8 का स्क्वायर तो 25/8 बन गया दोस्तों हैं रैशन समझे ना बच्चे रैशन नंबर बन गया डी ऑप्शन आइए जी बताइए हैं एएलपी के ट्रेन का ड्राइवर चलो बनोगे ना वहां आपका मेंस जब लिखोगे तो ऐसा सवाल दिखेगा उसमें। 1:25:55 बताइए कड़ी दोपहरी का पूछा हुआ सवाल है। हैं बच्चों कौन-कौन ट्रेन का ड्राइवर बनना चाहता है? जब बन जाओ तो मुझे बता देना। मैं उसमें नहीं बैठूंगा। तुम्हारा क्या भरोसा? बतियातो खेतों में ले जाओ। ट्रेन [हंसी] हैं? हैं। [हंसी] कौन सा एक इररेशनल नंबर है? इररेशनल यानी कि सड़ा हुआ। 3 * 27 81 का अंडर रूट रैशन हो गया। 4 4 4 का अंडर 2 ये आठ हो गया ना? 4 * 2 = 8 रैशन हो गया। 9 + 7 इरशनल है भाई। नौ का अंडर रूट 3 7 का अंडर रूट निकलेगा ही नहीं। नॉन टर्मिनेटिंग नॉन रिपीटिंग डेसिमल। उसकी वजह से क्या बन गई ये संख्या? इररेशनल बन गई। ठीक है ना बच्चों? तो डी ऑप्शन यहां पे मस्त है। ये बताइए। ये सवाल भी एनटीपीसी की परीक्षा में आया है। करो। आपको एक संख्या दी है। अ ये 1:26:58 संख्या क्या है? क्या ये इररेशनल है? क्या ये नेचुरल है? क्या ये रैशन है? क्या ये इंटीजर है? ये इंटीजर कहीं से नहीं है। ये नेचुरल कहीं से नहीं है। अब आप देखो यहां पे 1.1 फिर 1 2 फिर 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 ये पैटर्न चलता जा रहा है प्यारे बच्चों यहां पे। है ना? लेकिन कोई भी सेम चीज रिपीट कोई दोहराव सेम पैटर्न का बार-बार कोई दोहराव नहीं है। इसलिए क्या है ये? इररेशनल नंबर एक अपरिमेय संख्या। ठीक है बच्चों? ए। अरे वाह बहुत बढ़िया ए ऑप्शन। आइए जी अगला सवाल। कौन करेगा जी इसको बनाओ। 1:27:49 3 5 + 125 ये पूरे पे रूट है ना बेटा? 3 5 + 125 / 80 + 6 5 का मान है। इनका मान सॉल्व करके नहीं निकालना। बताना है कि इंटीजर है कि नेचुरल है कि रैशन है कि इरैशनल है। परिमेय है कि अपरिमेय बताना जरा बच्चे। तो यह है ऊपर है भाई 3 5 और यह दिखा हमें 125 का अंडर रूट। 125 का अंडर रूट क्या आएगा? 125 का मतलब होता है ऐसे लिखा करो कि एक संख्या पूर्ण वर्ग दिखे। 25 * 5 = 125 25 का अंडर रूट 5 का 5 तो ये आ गया 5 5 ऐसे ही नीचे 80 का अंडर रूट 80 होता है 16 * 5 = 80 16 * 5 16 का अंडर 4 आ जाएगा 5 का 5 प्लस 6 5 आप देख पाओगे कि ऊपर नीचे से पांच कट जाएगा। क्यों? कि 3 5 + 5 5 8 5 और नीचे 4 1:28:50 5 + 6 5 10 5 तो 5 कट गया ऊपर नीचे से 8/10 ही बन गया जो कि है 4/ ये p / q फॉर्म है इंटीजर / इंटीजर तो क्या है ये रैशन नंबर है बी ऑप्शन इट इज ए रैशन नंबर तो जो a बता रहे हैं ना इररेशनल वो गलत है क्या है यह संख्या दिख रही थी ये पर पहले इसको सॉल्व सॉल्व करना पड़ता है। सॉल्व करके आप बता पाओगे कि ये कैसा है। समझे ना? ऊपर ही तीर नहीं चलाना है। ठीक है बच्चों? पढ़ाई करते रहिए मेरे दोस्त क्योंकि ये दुनिया पैसे वालों की है, नौकरी वालों की है। दिल वालों की नहीं है। दिल तो किसी को भी दे दो फ्री। हैं। हमारे दिनेश जी दिन में रास्ते में आठ लोगों को देके आते हैं। कोई लेता नहीं है। अलग बात है। ठीक है? कभी 100 का नोट दिए हैं किसी को? रास्ते में दिल दिए हैं। तो प्यारे बच्चों पैसा 1:29:53 महंगा है इसलिए पैसा कमाओ। कामयाब बनो। मेहनत से पढ़ो। देखिए ये सेमिनार करने हम गए थे प्रयागराज में। ये सब हेड कास्टेबल थे। मिलने आए थे। अब इसकी पांच-प सरकारी नौकरी लगी हैं एक लड़के की दो वर्षों में। अब ये सब अपनी नौकरी छोड़ के जॉइ करने वाले हैं दूसरी जॉब हायर पे ग्रेड पे तो मेहनत किए हैं। आप भी करो मेरे भाई। आइए जी सवाल है आपके सामने सीएचएसएल प्री 2025 की परीक्षा का। बताओ बच्चों। एक क्विज में एक छात्र से एक संख्या ज्ञात करने को कहा गया कि बेटा तू खाली बैठा चल एक संख्या ज्ञात कर दे। ठीक है ना? जो इररेशनल हो। कैसी हो? इररेशनल। ग्रेटर दैन टू बट लेस देन थ्री। जो दो से बड़ी हो और तीन से छोटी हो। दो से बड़ी हो और तीन से छोटी हो। हुज स्क्वायर इज़ आल्सो इररेशनल। जिस संख्या का वर्ग करने पर भी 1:30:54 एक अपरिमेय संख्या मिले, इरैशनल नंबर मिले। तो अगर हम पहला देखते हैं जैसे कि 5 तो हम 5 का स्क्वायर करेंगे तो भैया देखो पांच इररेशनल है। दो पांच का मान दो से बड़ा आएगा। है ना? लेकिन पांच का स्क्वायर करूंगा तो क्या आएगा? पांच। स्क्वायर करने पर इररेशनल नहीं आ रहा। यानी कि ये गलत है। ढाई तो अपने आप में इररेशनल संख्या है ही नहीं। ये वाला देखते हैं। अंडर रूट ऑफ 7 ये इररेशनल नंबर है। ठीक है? इरशनल नंबर है। इसका रूट निकलेगा नहीं। अब प्यारे बच्चों इसका स्क्वायर अगर मैं करूंगा तो इसका स्क्वायर हो जाएगा 7. 1/2 जो इररेशनल नहीं है। यानी कि ये वाला आंसर भी नहीं होगा। तो आंसर क्या है इस सवाल का? फिर बी ऑप्शन। केवल बी ऑप्शन ऐसा है जो 10 - 1 क्या है? इररेशनल नंबर है। और 10 - 1 का आप स्क्वायर करो तो क्या होता है 1:31:55 फार्मूला? a - b² = a² + b² - 2ab 10² 10 1 का वर्ग 1 10 1 - 2 10 तो इसका स्क्वायर करने पर भी यह क्या आ रहा है? इररेशनल ही आ रहा है कि नहीं? तो यानी कि प्यारे बच्चों इस सवाल का आंसर है बी। है ना? जाहिर सी बात है 10 की वैल्यू तीन से बड़ी आएगी क्योंकि 9 अंडर 3 तीन में से एक घटाएंगे तो यानी कि दो से बड़ा नंबर आएगा। दो और तीन के बीच में भी है ये। समझे ना बच्चे? तो आंसर है इसका बी। ऐसे आपको पकड़ना है ऑप्शन की हेल्प से ही। बताइए आगे चलते हैं। ठीक है? रैशन नंबर प्लस इररेशनल नंबर क्या है? एक रैशन नंबर में अगर इररेशनल नंबर जोड़ा जाए तो क्या आएगा? ये प्लस करना है। ये यूनियन या इंटरसेक्शन नहीं है। क्या करना है? प्लस करना है। एक रैशन नंबर में एक इररेशनल नंबर जोड़ा जाए। बताओ जी क्या आएगा? 1:32:58 एक परिमेय संख्या मान लीजिए हमने ले ली दो। है ना? एक परिमेय संख्या ले ली दो और एक इररेशनल नंबर ले लिया हमने 3। अब इनको जोड़ दिया। जोड़ने से भी क्या आ रहा है? इररेशनल नंबर ही आएगा। तो आंसर क्या आएगा? बी। ऐसे सवालों में रटते हैं बच्चे। रटना नहीं है। क्या? आप एग्जांपल लेके खुद ही सोचने की कोशिश करो। सोचना है। इसलिए मैंने इसकी कोई अलग से स्लाइड नहीं बनवाई। है ना बच्चों? भाई [नाक से की जाने वाली आवाज़] रैशन नंबर दो इरशनल नंबर 3 जोड़ के भी क्या आ रहा है? क्योंकि ये और ये बिल्कुल अलग-अलग प्रजाति के होंगे। और जोड़ के रैशन ही आएगा। नॉन टर्मिनेटिंग नॉन रिपीटिंग डेसिमल। ये बताइए। सिलेक्शन फेज 2025 का क्वेश्चन एक स्टूडेंट का दावा है कि दो अपरिमेय संख्याएं दो इररेशनल नंबर का योग सदैव इरशनल होता है। बालक कह रहा है इररेशनल प्लस इररेशनल हमेशा इरशनल आएगा। निम्नलिखित में से कौन सा युग्म इस दावे 1:33:59 को गलत साबित करता है? बताइए प्यारे बच्चों। इररेशनल नंबर प्लस इररेशनल नंबर बालक कह रहा है इररेशनल ही आएगा जी लेकिन मास्टर हूं मैं मैं कह रहा हूं ना ये गलत भी हो सके बताओ कौन सी बात गलत साबित करती है ये साबित करेगी गलत ऑप्शन नंबर डी 2 कैसा नंबर है इररेशनल - 2 भी इरशनल बेशक नेगेटिव है लेकिन नॉन टर्मिनेटिंग और नॉन दोनों ही अलग-अलग इररेशनल नंबर है और दोनों को जोड़ूंगा तो कट के क्या आ गया? जीरो क्या हो गया? एक जीरो एक रैशन नंबर हो गया। तो मैं यह कहना चाहता हूं कि एक इररेशनल नंबर में एक इररेशनल नंबर जोड़ के रियल नंबर भी आ सकता है और सॉरी रैशन नंबर भी आ सकता है और इररेशनल भी आ सकता है। ये ध्यान रखिए प्यारे बच्चों। एक इररेशनल नंबर में इरशनल 1:35:01 नंबर जोड़ के रैशन भी आ सकता है और इररेशनल भी दोनों आ सकते हैं। जैसे कि आप ये वाला एग्जांपल देखो 5 + 3 5 भी इररेशनल 3 भी जोड़ के क्या आएगा? इररेशनल। ये दोनों इररेशनल जोड़ के क्या आ रहा है? ज़ीरो। यानी कि रैशन। तो दो इररेशनल नंबर को जोड़ के रैशन भी आ सकता है और अब मैं आपके सामने लिख दूं 2 + 3 वानखेड़े जी कैसा नंबर है अपरिमेय मैं आपके सामने लिख दूं 2 - 3 कैसा नंबर है दोनों को जोड़ो क्या आ गया चार आ गया रैशन आ गया कि नहीं आ गया तो लॉजिकली सोचना कि दो अपरिमेय संख्याओं को जोड़ के कभी-कभी रैशन भी आ सकता है और इररेशनल भी आ सकता है तो बालक जो दावा कर रहा है वो गलत है। ठीक है ना बच्चे? ठीक है? आइए ये बताइए जरा। 1:36:06 ये बताइए जी क्या आंसर है इस सवाल का? 1:36:18 हां जी। सीएचएसएल 2025 प्री का सवाल खुशी हो रही है तुमको तुम लेटेस्ट कंटेंट पढ़ रहे हो बिल्कुल अपडेटेड बेहतरीन लेवल का खूब प्रैक्टिस मुझे पता है कि कहां कितना हथौड़ा मान है नंबर सिस्टम तो इतना बड़ा है पढ़ के क्या फायदा जब आता ही नहीं आता क्या है क्लासिफिकेशन ऑफ़ नंबर डिविजिबिलिटी रूल है ना भाज्य भाजक शेषफल वो पढ़ा रहे हैं हम ठीक है बच्चे आइए x इरशन x इरशनल है y भी इररेशनल है तो x + y क्या होगा? मैंने अभी पढ़ाया कि दो इररेशनल नंबर को जोड़ के रैशन भी आ सकता है और इररेशनल भी आ सकता है। अगर x भी इररेशनल है, y भी इररेशनल है तो इनको जोड़ के हमेशा रैशन आए हमेशा इररेशनल आए ऐसा कोई जरूरी नहीं है। कभी भी रैशन ना आए ऐसा भी जरूरी नहीं है। तो आंसर क्या आएगा? सी ऑप्शन। x + y को जोड़ के अगर x भी इररेशनल है, y 1:37:20 भी इरशनल है तो इनको जोड़ के रैशन आ सकता है। अगर x की वैल्यू क्या हो जाए? जैसे y की वैल्यू आप 2 ले लो। तो x की वैल्यू आप ले लीजिए माइनस का 2 दोनों ही क्या है? इररेशनल नंबर हैं। और दोनों को जोड़ोगे तो क्या आएगा? 0 और 0 क्या है? एक रैशन नंबर है। परिमेय संख्या है। है कि नहीं? मस्त। तो जब तक आपको बहुत गहराई में बातें नहीं पता होंगी आप ये सवाल कर पाओगे क्या बच्चों को रैशन इररेशनल ही नहीं पता जोड़ घटा के तो क्या बताएंगे द प्रोडक्ट ऑफ टू रैशन नंबर इज ऑलवेज दो रैशन नंबर का गुणनफल हमेशा क्या होगा बताइए दो रैशन नंबर का प्रोडक्ट हमेशा क्या होगा रैशनली ही आएगा। दो रैशन नंबर बेचारे सीधे साधे हैं। है ना? एक p / q और एक a /b इनकी गुणा करके भी यही आएगा। इंटीजर बटे 1:38:20 इंटीजर क्या रहेगा? रैशन ही रहेगा। तो हमने कुछ रटा क्या? ऐसे तो बहुत सारी चीजें हम रटने बैठेंगे तो कई दिन लगेंगे प्यारे बच्चों और भूल जाओगे आप। तो क्या समझो? दिमाग लगाओ। है ना? थ्योरी अच्छे से पढ़ो। सवाल अपने आप होंगे। आइए। व्हाट टाइप ऑफ ए नंबर इज द रिजल्ट ऑफ मल्टीपाइंग ए रैशन नंबर विद एन इररेशनल नंबर। एक परिमेय संख्या को एक अपरिमेय संख्या से गुणा करने पर किस जाति की संख्या प्राप्त होती है? किस प्रकार का नंबर प्राप्त होता है? सीजीएल का सवाल है। सब बच्चे सीजीएल का पेपर देंगे। प्रीवियस ईयर लगाना ही पड़ेगा। बताओ एक रैशन नंबर को एक इररेशनल नंबर से गुणा करने पर क्या आएगा? क्या हमेशा रैशन आएगा? क्या हमेशा रैशन आएगा? या हमेशा इंटीजर आएगा या कभी रैशन कभी इररेशनल। क्या सही है? डी ज्यादा आ रहा है। आप बताओ मान लीजिए दो 1:39:22 एक रैशन नंबर है और 3 क्या है? एक इररेशनल नंबर है। तो इनकी गुणा जब मैं करूंगा तो क्या आएगा? 2 3 जो कैसा नंबर हुआ? इररेशनल नंबर हुआ। बोलो बात समझे? इररेशनल। ठीक है ना? ठीक है। अब 0 एक रैशन नंबर है। 3 एक और इनकी गुणा करूंगा तो क्या आएगा? जीरो जो क्या है? तो यानी कि मुझे सारे केस देखने हैं। स्पेशल नहीं सारे। तो मैं कह सकता हूं कि एक रैशन और एक इररेशनल। गुणा मारोगे तो कभी रैशन आ सकता है और कभी। समझे ना बच्चों? कोई तकलीफ मुझे लगता है तकलीफ तो आपको है ही नहीं। डी ऑप्शन इसका आंसर होगा प्यारे बच्चों। ठीक है ना? चलिए यहां तक की बात क्लियर है? आगे चलें प्यारे दोस्तों अगला टाइप। अगला टाइप। ठीक है? 1:40:25 मजा आया? ये आज एक आपको नई चीज बताता हूं। मैं एग्जामिनर को हिंट दे रहा हूं कि सीजीएल वाले एग्जामिनर तू देख और सीख। और यह सवाल डालना। सचिन यह बताओ कि हमारे पास एक इररेशनल नंबर है और इररेशनल नंबर की पावर भी एक इररेशनल नंबर है। इररेशनल नंबर की पावर एक इररेशनल नंबर है। तो बताओ प्यारे मित्र ये 1 लाख बच्चा पढ़ रहा है 1 लाख से ज्यादा ये रैशन आएगा कि इरैशनल आएगा? इररेशनल की पावर इररेशनल। व्हाट इज रैशन और इरशनल? यह प्रीवियस ईयर का सवाल नहीं है। मैं सिखा रहा हूं आपको नया। ठीक है? एग्जामिनर तक ये वीडियो पहुंचेगी। क्या पता वो डाल दे सवाल। इररेशनल की पावर इररेशनल। हैं सचिन ऑलवेज इरशनल। हैं। सोचो। देखो 1:41:28 2 कैसा नंबर है? सड़ा हुआ। इसकी पावर हमने क्या कर दी? 2 यह भी सड़ा हुआ। अरे दो सड़े हुए चिपक रहे हैं तो इररेशनल ही तो कैसा नंबर आ गया? तो इररेशनल की पावर इररेशनल आ गया इर रैेशनल। ठीक है जो तो आप यह कह रहे हो वानखेड़े जी कि 2 की पावर 2 एक इररेशनल है। आप कह रहे हो ये सब सही कह रहे हैं। अब इसकी पावर हम कर देते हैं 2 इसकी पावर हम कर देते हैं तो आप कह रहे हो कि ये इररेशनल और ये अब आप मुझे बताना देखो मजा लीजिए कहीं नहीं मिलती ये चीजें पावर की का हो गया आपस में तो 2 * 2 2 का स्क्वायर ये क्या आ गया 1:42:28 बताओ कोई सोच पा रहा है? तो इररेशनल की पावर इरशनल कभी इररेशनल कभी रैशन समझे ना लेकिन देखने से आएगा नहीं दिमाग में। आ रहा है क्या? मजा आया ना? हम [हंसी] हैं। चलिए आगे चलते हैं। अच्छी चीज सिखाता हूं मैं। चलिए आर यू एंजॉयंग बच्चों कमेंट में एक बार लिख दो भाई मुझे 1 लाख हार्ट वाली इमोजी चाहिए कमेंट में हां बहुत कम बच्चे हैं जिन्होंने सही बताया बोथ उनको तत्काल प्रभाव से ₹-5 Paytm किया जाए भाई ठीक है हां जी मेरे दोस्त मजा आया [नाक से की जाने वाली आवाज़] 1:43:28 चलिए ठीक है। दो अलग-अलग संख्याएं मान लो a और b उनके बीच में अनंत इनफाइनाइट रैशन नंबर होंगे। उनके बीच में इनफाइनाइट इरशनल नंबर भी होंगे। जैसे मान लीजिए एक आपके सामने एक और पांच मैंने लिख दिया। तो एक और पांच के बीच में बहुत सारे रैशन नंबर हैं। इनके बीच में बहुत सारे दशमलव हैं। भाई एक और पांच के बीच में दुनिया भर के दशमलव हैं। वो सारे के सारे क्या हैं? रैशन। इनके बीच में बहुत सारे इररेशनल नंबर ही हैं। आप इनके बीच में लिख दो अंडर रूट 1.3 1.4 2 है ना? दुनिया भर के क्या है इनके बीच में? इररेशनल। तो दो अलग-अलग संख्याओं के बीच में अनंत रैशन नंबर होते हैं और अनंत ही इररेशनल नंबर होते हैं। एक और पांच के बीच में दुनिया भर के 10 टुकड़ा-टुकड़ा करते जाओ प्यारे बच्चों रैशन आते जाएंगे और इस तरह के बहुत सारे इररेशनल नंबर भी आएंगे। दिख रहा है ना? बस इतनी सी बात पे ही सवाल एग्जामिनर ने पूछ लिया है। 1:44:29 सीएचएसएल में बनाइए प्यारे बच्चों। आइए एक और दो के बीच इररेशनल नंबर्स कितने हैं? नंबर ऑफ इरैशनल नंबर बिटवीन वन एंड टू। एक और दो के बीच में कितने इररेशनल नंबर हैं? इनफाइनाइट असीमित। बहुत सारे एक और दो के बीच में। ये बताइए। ये सवाल सीएचएसएल 2025 में भी आया है। सीजीएल 2025 में भी आया है। बहुत बढ़िया। किन्हीं दो परिमेय संख्याओं के बीच परिमेय संख्याओं की संख्या दो रैशन नंबर के बीच कितने रैशन नंबर होंगे? इनफाइनाइट। दो रैशन नंबर के बीच में बहुत सारे दशमलव बनेंगे और हर दशमलव को फ्रैक्शन में लिखोगे तो क्या बन जाएगा? रैशन नंबर बन जाएंगे। है ना? तो दो रैशन नंबर के बीच में इनफाइनाइट रैशन नंबर होते हैं। ठीक है बच्चों? देखो रटने वाली बात नहीं है। सोचने वाली बात है। इसी के साथ जाके ये टाइप आपका खत्म हुआ। रैशन इररेशनल से आपका पीछा छूटा एक तरीके से। 1:45:32 अब आपके सामने आएगा टाइप नंबर दो। ठीक है। क्वेश्चन लगा रहे हो। हां। ठीक है मेरे भाई। टाइप नंबर है दो आपके सामने। देखो यहां मैं पूरी कोशिश कर रहा हूं ज्यादा से ज्यादा पढ़ाऊं। है ना? अगर आप हमारे उस पे जाएंगे एप्लीकेशन पे तो वहां सिलेक्शन बैच भी हम पढ़ाते हैं। इसमें मैथ्स, इंग्लिश, जीएस, रीजनिंग बेस्ट टीम है हमारे पास। मैं दावे के साथ कह सकता हूं इतनी गद्दावर टीम नहीं है कहीं भी। एकदम खतरनाक। है ना? तो आप सिलेक्शन बैच ज्वाइन करके सीक्वेंस में 7 आठ महीने में अपनी कंप्लीट तैयारी कर सकते हो फॉर ऑल एग्जाम। ठीक है बच्चों? सिलेक्शन वे एप्लीकेशन से। आइए प्यारे बच्चों। तो अभी तक हमने जाना कि रियल नंबर्स होते हैं रैशन और इररेशनल। रियल नंबर्स को ही बांटा गया है इंटीजर्स और डेसिमल में। डेसिमल मैंने समझाया नॉन टर्मिनेटिंग और टर्मिनेटिंग। हो गया। अब 1:46:32 ये जो इंटीजर्स हैं, जो पूर्णांक है, इन्हीं इंटीजर्स को हमें दोबारा अच्छे से पढ़ना है। इंटीजर्स में भी बहुत सारी खास बातें होती हैं। तो हम किस पे ध्यान लगाएंगे? अब इंटीजर्स पे। पूर्णांक पे। इंटीजर आप समझते हैं ये नंबर लाइन पर ये एग्जैक्ट पॉइंट -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 डॉट डॉट इनफाइनाइट ये क्या हैं? इंटीजर्स। [अचानक ज़ोर से सांस लेने की आवाज़] अब जीरो से पहले के जितने नंबर हैं प्यारे बच्चों ये हैं आपके नेगेटिव इंटीजर्स। क्या हैं ये? नेगेटिव इंटीजर्स। नेगेटिव के अलावा जो बचा वह नेगेटिव नहीं है। नेगेटिव के अलावा जो बचा वह नेगेटिव नहीं है। यानी कि यह क्या हो गया? नॉन नेगेटिव जो नेगेटिव ना हो। है जीरो ऐसा नंबर है जीरो ना तो पॉजिटिव है ना ही नेगेटिव है। तो ये 0 1 2 3 4 5 से लेकर इनफाइनाइट तक ये सब नॉन नेगेटिव 1:47:32 गैर ऋणात्मक पूर्णांक है। इन्हीं को हमने नाम दिया होल नंबर्स यानी कि पूर्ण संख्याएं है ना। होल नंबर्स जीरो से शुरू होते हैं और फिर लगातार जाते यानी कि ज़ीरो और सारे के सारे पॉजिटिव इंटिजर्स। ज़ीरो और सारे के सारे पॉज़िटिव इंटीजर्स। बात को समझे हैं सचिन। ज़ीरो और सारे के सारे पॉज़िटिव। अच्छा, अगर ज़ीरो को भी साइड कर दूं, ज़ीरो को भी गद्दारी कर दूं, तो ये जो मेरे सामने है 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ये कहलाते हैं आपके पॉजिटिव इंटीजर्स। पॉजिटिव। ठीक है बच्चों? तो 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 इनको हम कहते हैं पॉजिटिव इंटिजर्स। इनको नाम दिया हमने नेचुरल नंबर्स या प्राकृतिक संख्याएं। नेचुरल नंबर्स। प्राकृतिक संख्याएं। आप बोलोगे जी सर मुझे लगता है सबको अच्छे से समझ में आया है। ठीक है? होल नंबर्स क्या होता है? नेचुरल नंबर्स क्या होता है? ठीक है जी। यह सवाल 1:48:34 एनटीपीसी ग्रेजुएट लेवल और सीएचएसएल के पेपर में आया है। कौन करेगा? कौन सा संख्याओं का सेट वास्तविक संख्याओं का जो है सेट सबसेट नहीं है? बताइए। वि ऑफ दीज़ व्हिच ऑफ़ दीज़ नंबर सेट इज नॉट ए सबसेट ऑफ रियल नंबर्स? बताओ आपके सामने चार सेट दे रखे हैं। इनमें से कौन सा ऐसा है सेट जो रियल नंबर्स का बच्चा नहीं है? रियल नंबर्स का बच्चा नहीं है? तो रियल नंबर्स का सबसेट या कहूं मैं बच्चा इंटिजर्स हैं। इंटिजर्स ही क्या होते हैं? रियल होते हैं। नेचुरल नंबर भी रियल होते हैं। होल नंबर्स भी रियल होते हैं। लेकिन कॉम्प्लेक्स नंबर क्या हैं? कॉम्प्लेक्स नंबर जो है वह रियल नंबर तो आंसर क्या आएगा? डी। कॉम्प्लेक्स नंबर का जो ग्रुप है वह रियल नंबर का जो है बच्चा या रियल नंबर का सबसेट नहीं है। तो आंसर 1:49:35 है इसका डी ऑप्शन। बाकी रियल नंबर के अंदर ही आ जाएगा सब कुछ। इंटीजर भाई ये है नंबर लाइन। और नंबर लाइन पे ये सारा माल लिखा हुआ है। होल नंबर, नेचुरल, इंटीजर ये सब क्या है? है भाई? ये सब क्या है? रियल नंबर्स हैं। ठीक है ना? नंबर लाइन पर लिखी हुई हर एक चीज़। आइए अगला सवाल यह बताएंगे सीएचएसएल 2025 का सवाल कौन करेगा? हैं दोनों हां कोई बात नहीं। ये बताइए कौन सी संख्या नेचुरल नंबर का पार्ट नहीं है? व्हिच नंबर इज नॉट पार्ट ऑफ नेचुरल नंबर? तो नेचुरल नंबर 1 2 9 सब कुछ हैं लेकिन जीरो नेचुरल नंबर का पार्ट नहीं है। जीरो क्या है? होल नंबर है। जीरो नेचुरल नंबर नहीं होता। तो आंसर क्या है? इतनी सी बात आ जाती है आपके प्री के पेपर में। यह बताइए कौन सी संख्या 1:50:35 नेचुरल और इंटीजर दोनों ग्रुप्स में? कौन सी संख्या नेचुरल और इंटीजर दोनों ग्रुप में। नेचुरल का मतलब क्या है? पॉजिटिव इंटीजर्स। पॉजिटिव इंटीजर्स तो ज़ीरो आपका नेचुरल नंबर नहीं है। -5 आपका नेचुरल नंबर नहीं है। पांच एक ऐसा नंबर है जो नेचुरल नंबर भी है और इंटीजर भी है। कैसा इंटीजर है? पॉजिटिव इंटीजर। तो आंसर क्या हुआ? पांच। समझे? वि सेट डस नॉट कंटेन नेगेटिव नंबर्स? किस सेट में नेगेटिव नंबर्स नहीं है? इंटिजर्स तो नेगेटिव भी हो सकते हैं। नेचुरल नंबर नेचुरल नंबर ऐसा है जिसमें नेगेटिव नंबर्स नहीं है। नेचुरल नंबर्स में क्या है? 1 2 3 डॉट डॉट डॉट इनफाइनाइट। केवल केवल और केवल पॉजिटिव इंटीजर्स। समझ में आया? आप बोलोगे जी सर बिल्कुल सही। ठीक है। आइए आगे चलें। 1:51:36 बी ऑप्शन ये बताइए बच्चों। हैं। ठीक है? द सेट ऑफ होल नंबर कंसिस्ट ऑफ ऑल नेचुरल नंबर अलोंग विद वि एडिशनल नंबर्स। होल नंबर द सेट ऑफ होल नंबर्स कंसिस्ट ऑफ ऑल नेचुरल नंबर अलोंग विद विच एडिशनल नंबर। होल नंबर के सेट में सारे नेचुरल नंबर हैं। और एक एक्स्ट्रा नंबर है। वो एक्स्ट्रा नंबर क्या है? जीरो। ऑप्शन नंबर सी। तो, क्या आंसर आएगा? होल नंबर्स का मतलब है 0 1 2 3 4 5 6 डॉट डॉट डॉट डॉट इनफाइनाइट। तो होल नंबर के सेट में सारे के सारे नेचुरल नंबर भी है और एडिशनल नंबर है ज़ीरो। तो क्या आएगा आंसर? ज़ीरो। बताइए अगला। व्हिच पेयर ऑफ़ नंबर सेट हैज़ दी सेम एलिमेंट? आपके सामने चार सेट दिए हैं। 1:52:38 पूछा है किस में सेम एलिमेंट है? सेम माल किसके अंदर है? बताइए। नेचुरल नंबर और इंटीजर्स नहीं अलग-अलग भैया। नेचुरल नंबर मतलब पॉजिटिव। इंटीजर्स तो नेगेटिव भी हो सकते हैं। होल नंबर्स एंड नेचुरल नंबर इंक्लूडिंग जीरो। यही है बी ऑप्शन। दोनों में सेम माल है। होल नंबर्स यानी कि पूर्ण संख्याएं कहूं और नेचुरल नंबर में जीरो भी इंक्लूड कर दूं तो क्या बन जाएगा? होल नंबर्स ही बन जाएगा। तो आंसर क्या है सवाल का? बी ऑप्शन है। आइए अगला उठाते हैं। बताओ बच्चों वि सेट ऑफ नंबर्स इंक्लूड ऑल अदर? किस सेट में बाकी सारा माल आ जाता है? चार सेट दिए हैं। बोला है इनमें से एक पापा है बाकी वाक्य बालक है। तो पापा सेट बताओ जिसके अंदर सब बच्चा सेट आए। कौन सा है? 1:53:36 किस सेट में बाकी सभी शामिल है? वो है रियल नंबर। रियल नंबर के अंदर ही इंटीजर आएंगे, रैशन आएंगे और होल नंबर्स आएंगे। ठीक है ना? सब रियल नंबर के अंदर है। आइए सीजीएल 2025 प्री का सवाल है आपके सामने। सेम टू सेम। करो। रिलेशनशिप बिटवीन इंटिजर्स एंड होल नंबर कैन बी एक्सप्रेस्ड एज इंटिजर और होल नंबर के बीच में जो रिश्ता है वो कैसे एक्सप्रेस कर सकते हैं बताइए? ऑल होल नंबर्स आर इंटीजर्स। सभी होल नंबर्स इंटीजर्स होते हैं। यह बात एकदम सही है। सारे के सारे होल नंबर्स 0 1 2 3 4 और अनंत तक सब क्या हैं? एक तरीके से इंटीजर्स हैं। ऑल इंटीजर्स आर होल नंबर्स। यह बात गलत है। भाई सारे इंटीजर जैसे -5 ले लो। -5 होल नंबर नहीं हुआ। होल नंबर एंड इंटीजर्स आर दी सेम सेट। होल 1:54:38 नंबर और इंटीजर्स सेम नहीं है। अलग-अलग हैं। क्योंकि होल नंबर्स मतलब ज़ीरो और नेचुरल और इंटीजर्स तो नेगेटिव भी हो सकता है। होल नंबर्स एंड इंटीजर्स हैव नो एलिमेंट्स इन कॉमन। नहीं भाई होल नंबर्स जो है वो एक तरीके से इंटीजर्स ही हैं। यानी कि कॉमन तो है। तो क्या आंसर चाहिए? केवल पहला वाला। सारे के सारे होल नंबर्स क्या हैं आपके? इंटीजर्स होते हैं। पूर्णांक होते हैं। पर सारे पूर्णांक होल नंबर्स नहीं होते। ऑल होल नंबर्स आर इंटिजर्स। बट ऑल इंटीजर्स आर नॉट होल नंबर्स। सही बता दे रहे हैं भाई बालक। आइए अगला सवाल लेते हैं। बताइए सीजीएल प्री 2025 का सवाल है आपके सामने। करिए हम भाई जितनी तो एसएससी में वैकेंसी भी ना है जितने बालक लाइव पढ़ रहे हैं। 1:55:45 ठीक है। बताओ व्हिच ऑफ द फॉलोइंग स्टेटमेंट इज फाल्स? कौन सा गलत है? पहला देयर इज नो लार्जेस्ट नेचुरल नंबर। कोई भी सबसे बड़ा नेचुरल नंबर दुनिया में विद्यमान नहीं है। एकदम सही बात है। भाई नेचुरल नंबर है 1 2 3 4 5 अब सबसे बड़ा क्या ही बताऊं। मुझे तो अनंत पे मिल रहा है। अनंत में एक जोड़ दो और आ जाएगा। है कि नहीं? तो ये बात एकदम सही है। हमें तो गलत ढूंढनी है। वन इज द स्मालेस्ट नेचुरल नंबर। वन सबसे छोटा नेचुरल नंबर है। बात एकदम टकाटक है। करेक्ट। ठीक है? ऑल नेचुरल नंबर टुगेदर विद ज़ीरो आर कॉल्ड इंटीजर। सारे नेचुरल नंबर जीरो के इंक्लूड करने के बाद इंटीजर्स कहलाते हैं। यही बात क्या है? सारे नेचुरल नंबर टुगेदर विद ज़ीरो कहलाते हैं। होल नंबर्स। ये सब नेचुरल नंबर। जीरो को मिला दो तो होल नंबर पूर्ण 1:56:45 संख्याएं बनेंगी। देयर इज नो लार्जेस्ट होल नंबर। ये बात भी सही है। ये ये क्या लिखा हुआ है आपके सामने? होल नंबर्स लिखे हुए हैं आपके सामने। और होल नंबर्स में लार्जेस्ट क्या है? कौन हो पता नहीं। तो आंसर क्या है? सी ऑप्शन यहां पे गलत है। ये बताएंगे बच्चों। यह सीजीएल 2022 का सवाल है। यह पुराना क्वेश्चन है। बताओ निम्न हमेशा से आते रहे। निम्नलिखित कथनों में से कौन सा कथन सही? नहीं है। चार ऑप्शन दिए हैं। तीन बात सही है और एक सही नहीं है। वही बतानी है। बताओ। पहला ऑप्शन देखो। एव्री नेचुरल नंबर इज ए रियल नंबर। हर प्राकृतिक संख्या वास्तविक है। तो बात एकदम मस्त है। सही। एव्री रियल नंबर इज रैशन। अरे ये तो गड़बड़ हो गई भाई साहब। हर रियल नंबर रैशन हो। जरूरी नहीं है। हर कोई रियल नंबर इररेशनल भी हो सकता है। तो ये वाली बात गलत है। बी ऑप्शन आंसर आ जाएगा। आंसर क्या 1:57:46 होगा? बी। एव्री इंटीजर इज ए रैशन। ये बात एकदम सही है। हर पूर्णांक रैशन है। एव्री नेचुरल नंबर इज एन इंटीजर। हर नेचुरल नंबर पूर्णांक है। ये बात भी सही है। ठीक है बच्चों? तो बी ऑप्शन आंसर आ गया। जी। आगे चलेंगे। यह बताएंगे। 1:58:10 करो। दो सवाल और हैं। उसके बाद टाइप चेंज करेंगे। नाउ निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है? चार हैं। तीन बात गलत होंगी। एक सही वाली बतानी है। पहला ऑल रैशन नंबर्स आर बिल्कुल मस्त बात है। सारे के सारे रैशन नंबर्स रियल है। रियल नंबर का ही बच्चा है रैशन और ऑल रियल नंबर्स आर इररेशनल। गलत। ऑल रियल नंबर्स आइदर रैशन, आइदर इररेशनल। ऑल इंटीजर्स आर इररैशनल। गलत। सारे इंटीजर्स क्या होते हैं? रैशन। नो होल नंबर्स आर रैशन। गलत। सारे होल नंबर्स क्या होते हैं? रैशन। सारे होल नंबर्स को आप फ्रैक्शन के रूप में लिख सकते हैं। ठीक है बच्चों? आइए प्यारे भाई, आखिरी प्रश्न इस टाइप का जो एनटीपीसी में आया था 2024 में ग्रेजुएट लेवल में। आप में से कितने बच्चे ऐसे जो एसएससी के साथ-साथ रेलवे के पेपर 1:59:12 भी दे लेते हैं? 1:59:23 कौन सा सत्य है? बताइए। एक-एक चीज देखनी पड़ेगी। ऑल होल नंबर्स आर रैशन। ये बात एकदम टकाटक सही है भाई। सारे के सारे होल नंबर्स क्या हैं? रैशन नंबर है। सारे होल नंबर्स को आप कैसे लिख सकते हो प्यारे बच्चों? P / Q फॉर्मेट में सब रैशन होते हैं। ठीक है? बाकी सब ऑल रैशन नंबर्स आर नहीं ऐसा नहीं है। कुछ रैशन नंबर जैसे आपके सामने लिखा 5/3 रैशनल है। पर क्या ये इंटीजर है? नहीं। ऑल इंटीजर्स आर इररेशनल। इंटीजर्स अलग चीज है और इररेशनल नंबर तो नॉन टर्मिनेटिंग नॉन रिपीटिंग डेसिमल है। अलग चीज है। नो रियल नंबर इज़ रैशन। गलत बात है। रियल नंबर रैशन होते हैं। हो सकते हैं। इररेशनल भी हो सकते हैं। तो पहला वाला सही है। इसी के साथ ये होता है खत्म प्यारे बच्चों। चलिए अब मैं इस कांसेप्ट को आपके सामने 2:00:25 मर्ज कर देता हूं। है ना? ध्यान से सुनिएगा। सब बच्चे इस चीज को अच्छे से समझिए। तो सबसे पहले हमने आपको पढ़ाया कि रियल नंबर्स वो हैं जो नंबर लाइन पर आ सकते हैं। नंबर लाइन पर आपको दिखाई दे रहे थे इंटीजर्स। उन इंटीजर्स में पॉजिटिव वाले थे नेचुरल नंबर्स। यानी कि ये है नेचुरल नंबर का सेट। ये है नेचुरल नंबर का डब्बा। इसके अंदर क्या आएगा? 1 2 3 4 5 6 7 8 ये है n यानी कि नेचुरल नंबर्स। नेचुरल नंबर में अगर ज़ीरो इंक्लूड कर दिया जाए तो यह डब्बा बन जाएगा। ये वाला डब्बा किसका? होल नंबर्स का। W माने होल नंबर्स। नेचुरल नंबर्स होल नंबर्स के साथ-साथ अगर नेगेटिव भी ले लिया जाए प्यारे बच्चों। क्या ले लिया जाए? नेगेटिव इंटीजर्स भी ले लिया जाए। 1/2 गलत है। सर यहां पे Z ये गलत लिख दिए प्यारे बच्चे। हां। अगर यहां पर प्यारे बच्चों नेचुरल नंबर के 2:01:26 साथ-साथ होल नंबर में जीरो शामिल कर दो। ठीक है बच्चों? और उसके साथ-साथ आप नेगेटिव भी ले लेंगे। नेगेटिव भी 0 से पहले -1 -2, -3 डॉट डॉट माइनस इनफाइनाइट तक। है ना? 1 2 3 4 पॉजिटिव भी। तो ये क्या कहलाएगा आपका? इंटीजर्स। तो इंटीजर्स के अंदर ही आते हैं होल नंबर्स और होल नंबर के अंदर ही आते हैं नेचुरल नंबर्स। इंटजर्स के साथ-साथ अगर आप टर्मिनेटिंग डेसिमल है ना नॉन टर्मिनेटिंग रिपीटिंग डेसिमल शामिल कर लेंगे तो क्या बन जाएगा ये रैशन नंबर बन जाएगा प्यारे बच्चों या परिमेय संख्या तो रैशन नंबर के अंदर ही आएगा आपका इंटीजर यानी कि पूर्णांक इंटीजर्स के अंदर ही आता है आपका होल नंबर्स और होल नंबर्स के अंदर ही आएगा आपका नेचुरल नंबर्स है है ना? ये रैशन नंबर हैं। रैशन नंबर के अंदर प्यारे बच्चों पूर्णांक भी है और दशमलव भी हैं। 2:02:26 दशमलव कौन सा? शांत दशमलव और रिपीटिंग डेसिमल। ठीक है बच्चों? टर्मिनेटिंग डेसिमल और नॉन टर्मिनेटिंग बट रिपीटिंग डेसिमल। इसी में अगर इररेशनल नंबर भी शामिल कर लिया जाए। रैशन इर रैेशनल नंबर में अगर इररेशनल नंबर भी शामिल कर लिया जाए। इनका यूनियन किया जाए तो इनका यूनियन क्या बनेगा? रियल नंबर। और रियल नंबर भी लाइक बच्चा है तू मेरा। सब रियल नंबर के बालक हैं। है ना? और इररेशनल नंबर आप जानते हैं पाई रूट 11 32 का क्यूब रूट है ना? यानी कि एक तरीके से नॉन टर्मिनेटिंग नॉन रिपीटिंग डेसिमल जिनको p / q फॉर्म में नहीं लिख सकते। ठीक है बच्चों? बताओ मजा आया कि नहीं? सब कुछ एकदम साफ-साफ कोरा-कोरा दिख रहा है। आया ना? रैशन नंबर्स में देखिए ये आपका फ्रैक्शंस भी आ रही हैं। दशमलव भी आ रहा है, टर्मिनेटिंग डेसिमल भी आ रहा है। नॉन टर्मिनेटिंग रिपीटिंग भी आ रहा है। उसी के 2:03:27 अंदर आपके इंटीजर्स हैं। उसी के अंदर होल नंबर है और होल नंबर के अंदर नेचुरल है। इररेशनल नंबर के साथ यूनियन करेंगे। क्या बनेगा? रियल नंबर। समझ में आया बच्चों? आप बोलोगे हां जी सर बिल्कुल सही। इतना सा कांसेप्ट आपने पढ़ा तो इस कांसेप्ट पर मुझे सवाल करके जरा आप दिखाइए तो 2:03:52 सब पता इतना बढ़ाने बैठे तो बस हो गया कल्याण [हंसी] अब यह सवाल है एग्जामिनर सवाल बना दिया वह जानता है कि हां आपने पढ़ा होगा है ना तो आपको ये सब बातें पता होंगी सवाल में कहीं भी यह सिंबल नहीं बताए गए एक्सप्लेन करके। अच्छा सवाल है। सिलेक्शन फेस में आया है। व्हिच ऑफ द फॉलोइंग रिलेशनशिप बिटवीन दी सेट्स ऑफ इंटीजर रैशन नंबर एंड रियल नंबर होल्ड्स गुड? तीन अलग-अलग फैमिली हैं। पूर्णांकों की फैमिली, रैशन नंबर की फैमिली और रियल नंबर की फैमिली। तो फैमिली में कौन सा रिश्ता बढ़िया है? बताइए प्यारे बच्चों। कौन सा रिश्ता बढ़िया है? कौन सा रिश्ता बढ़िया है? ट ट ट कौन सा रिश्ता बढ़िया है? मस्त रिश्ता। ए ऑप्शन बी ऑप्शन, सी ऑप्शन और 2:04:52 डी ऑप्शन। रिश्ता बढ़िया है। डी वाला। कौन सा बढ़िया है? डी वाला। आप कहोगे सर, हम तो ना समझे। मैंने अभी-अभी आपको समझाया। तो मैंने बताया कि भैया इंटीजर के सेट को हम बोलते हैं Z। ये एग्जामिनर ने लिख के ही नहीं दिया और सवाल बना दिया। है ना? ये स्टैंडर्ड वर्ल्ड वाइड ऑक्सफोर्ड में भी यही पढ़ाया जाता है। नेचुरल नंबर को N, होल नंबर्स को W और इंटीजर्स को रैशन नंबर को Q और इररेशनल नंबर कुछ भी कह लो। समझे ना? जोड़ के क्या बनेगा? रियल नंबर्स। ठीक है ना बच्चों? रियल नंबर्स माने r रियल नंबर्स माने r समझे ना प्यारे बच्चों अब ध्यान से सुनिएगा प्यारे भाई तो इंटीजर का फैमिली z इररेशनल रैशन नंबर की फैमिली रैशन नंबर की फैमिली q और प्यारे बच्चों रियल नंबर की फैमिली 2:05:53 r तो आप बताइए प्यारे बच्चों सबको साफ-साफ दिखाई दे रहा है कि रियल नंबर के अंदर ही क्या आएगा ये रियल नंबर है रियल नंबर नंबर है ये। ये क्या है? रियल नंबर। तो रियल नंबर के अंदर ही क्या आएगा आपका? रैशन नंबर। रियल के अंदर ही रैशन क्योंकि रियल दो प्रकार के होते हैं। रैशन और इसी रैशन के अंदर क्या आएगा आपका? इंटीजर्स पूर्णांक। यही आएगा कि नहीं आएगा? तो रियल का बच्चा रैशन और रैशन का बच्चा बच्चा सिंह बने कि नहीं बने? मस्त है मजा आया तो यहां पे डी वाला ऑप्शन सही है। [हंसी] आइए आगे चलते हैं। खत्म हुआ ये इसी के साथ आपके सामने आता है मस्त अगला टाइप। अगला टाइप आपके सामने आया। प्यारे बच्चों सब 2:06:53 बच्चे ध्यान से सुनिएगा। देखिए जो आपके रैशन नंबर हैं या तो वह टर्मिनेटिंग डेसिमल होंगे या नॉन टर्मिनेटिंग रिपीटिंग डेसिमल होंगे। ध्यान से सुनिएगा। अगर आप किसी भी संख्या को मेरे प्यारे दोस्तों ध्यान से सुनिएगा। n कोई नंबर है। किसी भी संख्या को दो या पांच की फैमिली से डिवाइड करो। दो या पांच की फैमिली से मेरे भाई दो या पांच की फैमिली से। तो एग्जैक्ट आपका डिवाइड हो के प्यारे बच्चों हमेशा टर्मिनेटिंग डेसिमल आएगा। शांत दशमलव आएगा। क्या आएगा? शांत दशमलव। ध्यान से सुनिएगा प्यारे बच्चों। शांत दशमलव आएगा। ये बहुत गहरी बात है प्यारे बच्चों। बहुत गहरी। जैसे मैं आपसे कहूं कि आपके सामने एक नंबर है सात। सात को मैंने डिवाइड करा किससे? दो से। तो क्या आएगा डिवाइड करके? 3.5 कैसा दशमलव है? सात को मैं डिवाइड करता हूं दो 2:07:56 का स्क्वायर यानी कि चार से तो सात को चार से डिवाइड करेंगे तो डिवाइड करने पर आएगा 1.75 कैसा दशमलव है शांत दशमलव है प्यारे बच्चों ठीक है ना क्लियर है आप बोलोगे हां जी सर टर्मिनेटिंग डेसिमल आ रहा है मैं डिवाइड करता हूं सात को किससे पांच से सात को पांच से डिवाइड करोगे क्या आएगा एक दशमलव शांत दशमलव दशमलव के बाद एक ही अंक सात को आप डिवाइड कर रहे हो किससे? 5 का स्क्वायर यानी कि 25 से। 28 / 10028 आएगा। कैसा दशमलव है? शांत। एक ऐसी संख्या से डिवाइड करो जिसमें दो भी आता हो और पांच भी आता हो। जैसे कि आप डिवाइड कर लो प्यारे दोस्तों 50 से। किससे डिवाइड कर लो? 50 के भीतर आप देखो 50 के भीतर दो भी है और पांच भी है। यानी कि दो और पांच का कॉम्बिनेशन है 50 तो सात को आप 50 से भाग करेंगे तो 14 / 100 क्या आएगा? पॉइंट 2:08:58 हमेशा क्या आएगा? शांत दशमलव। तो किसी संख्या को अगर आप दो या पांच के रिश्तेदार से डिवाइड करोगे। या तो दो का रिश्तेदार हो या पांच का रिश्तेदार हो। मैंने एग्जांपल से समझाया। हमेशा जो से दशमलव आएगा वह कैसा आएगा? शांत। लेकिन इसके अलावा अगर कुछ हुआ दो या पांच के रिश्तेदार के अलावा अगर कुछ हुआ तो हमेशा क्या आएगा फिर? कैसा दशमलव आएगा फिर? नॉन टर्मिनेटिंग। नॉन टर्मिनेटिंग बट बट रिपीटिंग। कैसा आएगा? नॉन टर्मिनेटिंग बट रिपीटिंग। यह मैं केवल इंटीजर्स के लिए बात कर रहा हूं। किसके लिए बात कर रहा हूं? केवल यह इंटीजर्स के लिए पूर्णांकों के लिए। जैसे कि प्यारे बच्चों हमेशा अगर आप किसी संख्या को दो या पांच की फैमिली के अलावा किसी और से डिवाइड करोगे वो 2:09:59 हमेशा क्या हो जाएगा? अशांत पावला हो जाएगा। लेकिन पैटर्न चालू रहेगा उसमें। पैटर्न चालू रहेगा। रुकेगा नहीं। मैं जैसे डिवाइड करने के लिए कहूं वन को तीन से तो तीन का ना दो से रिश्ता है ना पांच से। वन को तीन से भाग करो। क्या आया प्यारे बच्चों?333333 2:10:24 दशमलव कभी शांत हो रहा है? अशांत है। लेकिन बार-बार एक ही पैटर्न रिपीट हो रहा है। हो रहा है कि नहीं हो रहा है? आप यहां पे कर लीजिए मेरे दोस्तों। 1 / 6 एक को छ से भाग करो। छह में चलो दो आ रहा है लेकिन दो के साथ-साथ तीन भी आ गए। तीन नहीं आना था। या तो दो होना चाहिए या केवल किसी संख्या कोई दो या पांच के परिवार से भाग करोगे या तो हमेशा क्या होगा? शांत हो जाएगा। 2 5 के अलावा कुछ और घुसाया तो अशांत हो जाएगा। लेकिन रिपीटिंग 1/6 आप करना 666666 आएगा देखो बार-बार पैटर्न रिपीट हो रहा है छछ 6 छह है कि नहीं मेरे भाई मजा आया आप बोलोगे जी सर ये मजा आया है ठीक है ना चलिए ये बताइए सवाल एनटीपीसी के पेपर का पूछा हुआ है सेम टू सेम बताइए इतना सा कांसेप्ट पता है तो ही तो सवाल 2:11:26 होगा। हम यदि एक परिमेय संख्या का हर 2 की पावर n 5 की पावर m है। जहां n और m है पॉजिटिव इंटीजर्स। तो इस संख्या का दशमलव विस्तार क्या होगा? एक परिमेय संख्या। परिमेय संख्या यानी कि एक इंटीजर को आप एक इंटीजर को दूसरे इंटीजर से भाग कर रहे हो। और वो भाग किससे कर रहे हो? 2 की पावर n और 5 की पावर n तो दो और पांच की फैमिली से आप डिवाइड कर रहे हो तो डिवाइड हो के ये क्या हो जाएगा? शांत शांत हो जाएगा। यानी कि कैसा दशमलव होगा? दो या पांच के अलावा कुछ होता तो यह असांत हो जाता। समझे ना मेरे भाई? केवल इतना सा सवाल पेपर में आता है। देखिए सीएचएसएल 2025 प्री के पेपर में भी सवाल आया है। यह किस भिन्न का परिणाम एक अशांत अशांत आवर्ती दशमलव है। नॉन टर्मिनेटिंग रिपीटिंग डेसिमल है। कौन सी भिन्न ऐसी है 2:12:26 जो नॉन टर्मिनेटिंग बट रिपीटिंग डेसिमल होगी बताइए। 3/ 160 160 केवल दो और पांच की फैमिली से बनता है। 160 क्या होता है? 32 * 5 = 160 32 में केवल दो है। पांच में पांच है ना? पांच तो पांच ही है। तो 160 को जब तीन को 160 से डिवाइड करेंगे तो क्या हो जाएगा? ये शांत। शांत हो जाएगा। यह आपका नॉन टर्मिनेटिंग नहीं होगा। 1/ 64 64 क्या होता है? 2 की पावर दो की फैमिली है। डिवाइड करोगे तो ये भी कहीं ना कहीं शांत होगा। एक है 7 / 250 250 जो नंबर है प्यारे बच्चों 250 क्या होता है? 125 * 2 = 250 5 का क्यूब * 2 तो ये कैसा होगा प्यारे बच्चों? शांत होगा। लेकिन जब आप एक को 17 से भाग करेंगे तो 17 तो 2 और पांच का अलग ही चला गया। तो ये कैसा दशमलव होगा? असांत। लेकिन ये भी हो सकता है काफी जागे आगे जाकर रिपीट हो लेकिन रिपीट होगा। तो ऑप्शन नंबर क्या है? बी 1 बताइए। 2:13:30 इतनी सी बात थी। मजा आया ना? हैं बच्चों। समझे ना कांसेप्ट? कितना प्यार से मैंने आपको समझाया। इसी के साथ यह खत्म होता है। अब आपके सामने आएगा प्यारे बच्चों। अगला टाइप हमने इंटजर्स सबसे पहले हमने क्या पढ़ा रियल नंबर इंटजर्स और दशमलव रैशन इररेशनल फिर हमने पकड़ा इंटीजर्स अब आगे चलते हैं इंटीजर्स में बहुत इंपॉर्टेंट चीज होती है आपकी नेचुरल नंबर्स पॉजिटिव इंटीजर्स अब हमें केवल नेचुरल नंबर्स पढ़ना है नेचुरल नंबर्स आपके सामने अगला टाइप है नेचुरल नंबर्स या हिंदी में प्राकृतिक संख्या प्राकृतिक संख्याएं क्या होती हैं? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 अनंत क्या है ये? नेचुरल नंबर्स। नेचुरल नंबर्स की भी प्रजाति बांट दी इन इंसानों ने। नेचुरल 2:14:30 नंबर्स की भी प्रजाति। कौन सी? सबसे इंपॉर्टेंट। मैं कहूं कि बहुत बहुत ज्यादा इंपॉर्टेंट है। रेलवे का भी, एसएससी का भी और स्टेट एग्जाम का भी फेवरेट है। नेचुरल नंबर को ही बांटा गया है। प्राइम नंबर्स और कंपोजिट नंबर्स में। प्राइम नंबर्स और कंपोजिट नंबर। हम बहुत बढ़िया। प्राइम नंबर्स यानी कि अभाज्य संख्याएं। कंपोजिट नंबर माने भाज्य संख्याएं। प्राइम नंबर्स मतलब अभाज्य संख्याएं। कंपोजिट नंबर भाज्य संख्याएं। बहुत अच्छे से समझिएगा। बहुत बढ़िया मैं आपको पढ़ाऊंगा। है ना? एकदम एग्जांपल से। प्राइम नंबर्स हम केवल बात कर रहे हैं पॉजिटिव इंटीजर्स की। किसकी बात कर रहे हैं? केवल पॉजिटिव इंटीजर्स की। 1 2 3 4 5 6 7 8 यानी कि नेचुरल नंबर की। तो नेचुरल नंबर को बांटा गया है प्राइम और कंपोजिट नंबर। प्राइम नंबर्स वह नंबर्स होते हैं 2:15:31 जिनके एग्जैक्ट दो बच्चे होते हैं। वन और वह संख्या खुद। यानी कि वो संख्या जो केवल एक से डिवाइड होती है और खुद से डिवाइड होती है और किसी से डिवाइड नहीं होती। तो प्राइम नंबर्स वो सभी संख्याएं जिनके एग्जैक्ट दो ही बच्चे होते हैं जिनके एग्जैक्ट दो ही गुणनखंड होते हैं। एक तो वन और दूसरी वह संख्या खुद। है ना? यानी कि प्राइम नंबर्स के एग्जैक्ट दो फैक्टर्स होते हैं। ना दो से कम ना दो से ज्यादा। तो सबसे पहले हम बात करते हैं वन। क्या वन प्राइम नंबर है? वन का तो एक ही बच्चा है वन। वन केवल वन से भाग होता है। और वन का तो एक ही बच्चा हुआ वन। जबकि प्राइम नंबर्स के बच्चे क्या होंगे? दो। इसलिए वन प्राइम नंबर नहीं है। तो वन के आगे क्या बचा? दो। दो बचा प्यारे बच्चों। दो या तो एक से डिवाइड होगा या खुद दो से। तो यानी कि दो के दो ही बच्चे इसलिए दो क्या है? 2:16:31 एक प्राइम नंबर है। तो सबसे छोटा प्राइम नंबर क्या है? दो। दो सबसे छोटा प्राइम नंबर है। मस्त समझ में आया? दो के बाद अगला क्या आता है? तीन। तीन या तो एक से कटेगा या तीन से। तीन को क्या लिख सकते हो? 1 * 3 और कोई रास्ता है तीन को लिखने का? यानी कि तीन या तो एक से कटेगा या तीन से। तो तीन एक प्राइम नंबर है। चार चार तो एक से भी डिवाइड होगा, दो से भी और चार से भी। तो चार के तो तीन बच्चे हो गए। तो चार प्राइम नंबर तो चार के अलावा आगे पांच। पांच या तो एक से कटेगा या पांच से। तो पांच प्राइम नंबर है। पांच के आगे आया सिक्स। छह या तो एक से कटेगा, दो से भी भाग हो जाएगा, तीन से भी और छह से भी छह के। तो चार-चार बच्चे आ गए। इसलिए छह प्राइम नंबर तो छह के अलावा अगला सात प्राइम नंबर है। आठ भी प्राइम नहीं है। बहुत बालक हैं। नौ नौ बच्चों प्राइम नहीं होता। नौ एक से भी कटेगा तीन से भी और तीन-तीन बच्चे हो गए। 10 के भी खूब सारे 2:17:33 बालक हैं। 11 प्राइम है। 13 प्राइम है। 17, 19, 23, 29, 31 आप ये सब नंबर क्या हैं? प्राइम। आप 31 देखो 29 देखो चलो 29 या तो एक से कटेगा या 29 से और किसी से कटता ही नहीं है तो ये क्या है प्राइम नंबर्स अभाज्य संख्याएं समझ में आया मुझे लगता है इतने बेहतरीन मैंने समझाया सबके दिमाग में फिट हो जाना चाहिए कोई दिक्कत तो सबसे छोटा प्राइम नंबर है दो और दो एक इवन नंबर भी है यानी कि दो एक सम संख्या भी सम संख्या समझते अभी पढ़ाऊंगा सम संख्या वो होती हैं जो दो से कट जाती हैं। दो के अलावा जितने भी प्राइम है 3 5 7 11 13 17 19 कोई भी दो से नहीं कटता यानी कि सारे के सारे क्या हैं? विषम। तो सभी प्राइम नंबर्स या सभी अभाज्य संख्याएं ओड या विषम होती हैं सिवाय दो के। दो सबसे छोटा प्राइम नंबर है और विषम है। सॉरी सम है। समझ में आया प्यारे 2:18:33 बच्चों? इवन नंबर है। ठीक है? मस्त हुआ प्राइम नंबर। आप बोलोगे हां जी सर मस्त हुआ। ध्यान से सुनिएगा प्यारे बच्चों। प्राइम नंबर्स का कोई भी पैटर्न नहीं है। कभी भी टपक जाता है कोई। दो के बाद तीन आ गया। तीन में दो जोड़ के पांच आ गया। पांच में दो जोड़ के सात आ गया। फिर सात में चार जोड़ के 11 आया। फिर 11 में दो जोड़ के वापस 13 आ गया। फिर 13 में चार जोड़ के 17 आया। फिर दो जोड़ के 19 आया। फिर चार जोड़ के 23 आया। फिर 23 में छह जोड़ के 29 आया। तो कभी भी टपक जा रहे हैं। कोई भी यहां आपको पैटर्न नहीं देखने को मिलता। इसलिए प्राइम नंबर्स का कोई फार्मूला इंसान नहीं बना पाए कि भ इनका ये फार्मूला लगा लेना क्योंकि ये जो हैं व्यवहार पागलों की तरह करते हैं। कहीं भी टपक पड़ते हैं। ठीक है ना बच्चे? तीन 5 और सात दिखाई दे रहा है आपको स्पेशल। ये तीन पांच सात मैंने डब्बा में बंद करा। ये तीनों क्या हैं? प्राइम नंबर्स हैं। तीनों क्या हैं? प्राइम नंबर। तीनों की तीनों क्या है? विषम संख्याएं। कोई भी दो से नहीं कटता। 2:19:35 तीन में दो जोड़ोगे क्या आएगा? पांच। पांच में दो जोड़ोगे क्या आएगा? सात। यही केवल ऐसा ट्रिक है। यही केवल एक ऐसा सेट है। यही तीन संख्याओं का एक ऐसा गैंग है जो तीन लगातार विषम संख्याएं भी हैं और तीन लगातार अभाज्य संख्याएं भी हैं। इसके अलावा आप जिंदगी भर टटोलते रहना। आपको कोई ऐसा गैंग नहीं मिलेगा जो तीन लगातार प्राइम नंबर भी दिखें और तीन लगातार विषम संख्याएं भी दिखे। तीन, पांच और ये अकेला तीन लगातार विषम संख्याओं का ऐसा गैंग है जो प्राइम नंबर है। इसके अलावा नहीं दिखेगा आपको। आप कोई भी पकड़ लो। जैसे 17 19 23 पकड़ लिया। 17 में दो जोड़ा 19 आया। लेकिन 19 में चार जोड़ के 23 आ रहा। लगातार नहीं हुए ना विषम। दो-दो का गैप आना चाहिए था। सात में चार जोड़ के 11 आया। 11 में दो जोड़ के 13 लगातार नहीं हुए। केवल ये एक ही सेट ऐसा है 3 5 7 जहां 2:20:38 +2 +2 हो रहा है। तीनों लगातार विषम संख्याएं दो से ना कटने वाली और तीन लगातार अभाज्य संख्याएं भी हैं। तीन पांच और मस्त मजा आया? तो आप बोलोगे यस सर बिल्कुल सही। ये हैं आपके प्राइम नंबर्स। प्राइम नंबर्स के बाद हम जानते हैं कॉम्पोजिट नंबर्स। भाज्य संख्याएं। अभाज्य संख्याएं और जाहिर सी बात है जो प्राइम नहीं है वो कंपोजिट है। तो कंपोजिट नंबर्स या भाज्य संख्याएं वो संख्याएं होती हैं वो नेचुरल नंबर जिनके कम से कम तीन बालक होते हैं। जिनके कम से कम तीन बालक होते हैं। तीन से ज्यादा हो तो भी चलेगा। 10-10 बालक कर ले चलेगा। लेकिन कम से कम तीन बालक होना चाहिए। तो कंपोजिट नंबर वो संख्या जिनके कम से कम तीन फैक्टर्स होते हैं। कम से कम तीन बच्चा मार्केट में घूमता है। समझ प्यारे बच्चों? कंपोजिट कहलाते हैं। अब कौन-कौन सा नंबर कंपोजिट होगा बच्चों? पहला लेते हैं वन। वन का तो केवल एक ही 2:21:40 बच्चा है। वन। वन का केवल एक ही फैक्टर है वन। वन का केवल एक ही फैक्टर है वन। प्राइम नंबर के लिए दो बच्चे चाहिए। कंपोजिट नंबर के लिए कम से कम तीन बच्चे चाहिए और वन तो बेचारा एक ही बच्चा वाला वन का केवल एक ही बच्चा है वन। वन खुद वन से कटेगा और तो वन किसी से कटता नहीं है। इसलिए वन ऐसा है जिसके साथ भेदभाव हुआ है। इसके साथ अन्याय हुआ है। वन ना तो प्राइम नंबर है ना ही कंपोजिट नंबर है। यह देख लीजिए। इसलिए मैंने वन को अलग छोड़ा। वन ना तो प्राइम संख्या है ना ही कंपोजिट संख्या है। वन ना तो भाज्य है ना ही अभाज्य है। समझ आया प्यारा? फिर वन क्या है? वन एक यूनिवर्सल फैक्टर है। यूनिवर्सल मतलब सार्वत्रिक बच्चा। वन दुनिया में हर संख्या को विभाजित करता है। सबका बच्चा वन। सबका मालिक एक। समझे ना बच्चों? दुनिया की हर संख्या वन से डिवाइड होती है। इसलिए वन क्या है? यूनिवर्सल फैक्टर। समझे प्यारे बच्चों? तो वन ना तो प्राइम है ना ही 2:22:42 कंपोजिट है। ठीक है? वन के बाद दो तो प्राइम बन गया। तीन भी प्राइम बन गया। उसके बाद आता है चार। तो चार वन से कटेगा। दो से भी भाग हो जाएगा। चार से भी। भाग होने का मतलब है कि जैसे चार को चार से भाग करो। भागफल शेषफल क्या आएगा? 0 है ना? भाग होने का मतलब कि भाग करने पर शेषफल जीरो आ जाए। तो चार के तीन बच्चे हैं। तो चार कैसा नंबर है? कंपोजिट। तो सबसे छोटा कंपोजिट नंबर हुआ चार। सबसे छोटा कंपोजिट नंबर क्या है? चार। आता है सवाल? स्मालेस्ट कंपोजिट नंबर चार। चार के बाद अगला पांच तो प्राइम बन गया। क्या आया? नेक्स्ट छह। छह या तो प्यारे बच्चों एक से कटेगा, दो से, तीन से या छह से। छह के चार-चार बच्चे हो गए। इसलिए छह क्या है? कंपोजिट नंबर। सात क्या बन गया? प्राइम। सात के दो ही बच्चे हैं। अगला आएगा आठ। आठ प्यारे बच्चों 2:23:42 आठ या तो एक से डिवाइड होगा, दो से भी कट जाएगा, चार से भी, आठ से भी। आठ के चार-चार बच्चे। तो आठ क्या है? कंपोजिट नंबर। आठ के बाद अगला आएगा नौ। नौ एक से कटेगा, तीन से, नौ से। तो नौ के तीन बचे। नौ क्या है? कंपोजिट नंबर। अब आप देखना 4, 6, 8 तीनों क्या हैं? कंपोजिट। तीनों ही इवन है। दो से कटने वाले। चार भी दो से कटता है। छह भी दो से कटता है। आठ से कटता है। दो का पहाड़ा है। लेकिन नौ ऐसा नंबर मिला जो दो से तो नौ सबसे छोटा विषम कंपोजिट नंबर है। नौ सबसे छोटी भाज्य संख्या है जो विषम है जो ओड है। सवाल आता है स्मालेस्ट ओड कंपोजिट नंबर। सबसे छोटी भाज्य संख्या लेकिन विषम क्या है? नौ क्योंकि नौ से पहले जितने भी कंपोजिट नंबर हैं सब इवन है। समझे प्यारे बच्चों? नौ के बाद 10 1 2 5 10 से कटेगा। खूब बालक है। 2:24:43 11 तो प्राइम हो गया। फिर 12 आप आगे आप कर ही सकते हो ऐसे। तो ये क्या है? कंपोजिट नंबर्स। मजा आया। ठीक है बच्चों? क्या आपको यहां तक समझ में आया? अगर समझ में आया है तो कमेंट में यस लिख दो। यस सर। ठीक है? प्राइम कंपोजिट इतने बढ़िया तरीके से मैंने आपको समझाया। मस्त तरीके से एक नंबर हाई क्लास पीपीटी मैंने आपको बनवाई है यहां पे आपके लिए। जी मेहनत करी है। चलिए प्राइम नंबर के बारे में कुछ और मटेरियल मैं आपको बताता हूं। अरे भाई बहुत जरूरी है। मैं आपसे कहूं एक से लेके 100 तक अगर संख्या लिख दूं। 1 2 3 4 100 तक कितने प्राइम नंबर्स होंगे एक से 100 के बीच में? तो एक से 100 के बीच में ये सब प्राइम नंबर्स लिखे हुए हैं आपके सामने। प्यारे बच्चों इनको एक बार देख लो और याद कर लेना बहुत जरूरी है। 2 3 5 7 11 2:25:48 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 और 9 7 क्लियर है प्यारे बच्चों? ये हैं एक से लेके 100 के बीच में प्राइम नंबर्स। आप कोई भी नंबर पकड़ो वो या तो एक से कटेगा या खुद से जैसे 71 पकड़ लीजिए। 71 का मतलब 1 * 71 और कुछ होता ही नहीं। या तो वन से कटेगा या 71 से। तो एक से ले 100 के बीच में प्यारे बच्चों ध्यान से सुनिएगा। तो ध्यान से सुनिएगा। एक से लेके 100 तक कितने प्राइम नंबर हैं? आप इनको गिन के देखिएगा। 25 आ रहे हैं। गिन के देख लो। कितने आ रहे हैं? 25। एक से 100 के बीच में कितने प्राइम नंबर्स हैं? आप इनको काउंट करके बताओ प्यारे बच्चों। क्या मैं गलत तो नहीं पढ़ा रहा? ये 25 ही है क्या? एक से 100 के बीच में 25 प्राइम नंबर्स होते हैं। एग्जैक्ट। समझ में आया? एक से लेके 100 के बीच में। अच्छा जी। ध्यान से सुनिएगा। 2:26:50 ये ये वो प्राइम नंबर है जो एक और 50 के बीच में। गिन के बताओ जरा। कितने हैं ये? एक से 50 के बीच में कितने प्राइम नंबर हैं? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 एक से ले 50 के बीच में 15 प्राइम नंबर्स होते हैं। हैं बच्चों? बताइए। तो फिर मुझे बताओ कि 50 से 100 के बीच में ये प्राइम नंबर है 50 से 100 के बीच में। कितने प्राइम नंबर बचेंगे? फिर 50 से 100 के बीच में 10 प्राइम नंबर्स होते हैं। तभी तो जोड़ के 15 + 10 क्या आएगा? 25। ठीक है? ये पता होना चाहिए। फैक्ट पूछता है कि बताओ 50 से 100 के बीच में कितने प्राइम नंबर्स हैं? अब कोई फार्मूला तो है नहीं। मैंने बताया कि जिस चीज का व्यवहार ही इंसान नहीं समझ सकता तो फार्मूला कैसे बनाएगा? ठीक है बच्चों? तो यहां पे एक से 100 के बीच में प्राइम नंबर्स हैं 25। ये तीनों सवाल पेपर में आ रखे हैं। प्रीवियस 2:27:51 ईयर में तीनों ये मैं अपनी तरफ से आपको एक्स्ट्रा बता रहा हूं। फ्यूचर ईयर के लिए एक से लेके 200 तक की संख्याएं लिखोगे तो उनके बीच में 46 प्राइम नंबर होते हैं। कितने प्राइम नंबर होते हैं? 46। एक से लेके 200 के बीच में 46 प्राइम नंबर हैं। एक से लेके 1000 तक की संख्याओं के बीच 168 प्राइम नंबर्स हैं। एक ये यूपी कांस्टेबल 2018 वाले में पूछा गया था। एक से लेके 1000 के बीच कितने प्राइम नंबर्स हैं? कितने? 168 168 ये याद होना चाहिए आपको। अगली और बहुत इंपॉर्टेंट बात हर प्राइम नंबर को हर अभाज्य संख्या को प्रत्येक अभाज्य संख्या को 6n + - 1 करके लिखा जा सकता है। दुनिया में जितनी भी अभाज्य संख्या है ना दो और तीन को हटा दें क्योंकि ये तो छोटी है। इनको तो पता ही है। जितनी भी अभाज्य संख्या हर अभाज्य 2:28:53 संख्या को 6n + - 1 के रूप में लिखा जा सकता है। आप कुछ भी उठा लीजिए। जैसे मैं उठा लेता हूं यहां पे 31 31 प्राइम नंबर है। 31 को आप लिख सकते हो 6 * 5 = 30 + 1 31 हो गया ना? 6n + 1 रूप का? आप कुछ भी उठा लीजिए प्यारे बच्चों। मैं आपके सामने उठा लेता हूं यहां पे कितना? 17। क्या उठा लिया? 17 प्राइम नंबर है। तो 17 क्या आएगा? 6 * 3 = 18 - 1 हो गया 17। तो जितने भी प्राइम नंबर है या तो उनको 6n + 1 करके लिखोगे या 6n -1 करके लिखोगे। हर प्राइम नंबर्स को 6n + - 1 फॉर्म करके लिखा जा सकता है। लेकिन इसका उल्टा सत्य नहीं है। यही समझना है बेटे आपको। कोई भी संख्या जो मुंह उठा के मार्केट में खड़ी हो जाए कि मैं 6n + - 1 कैटेगरी में लिखी हुई हूं। क्या है? 6n + - 1 कैटेगरी की हो 2:29:56 तो जरूरी नहीं कि वो नंबर हमेशा प्राइम ही हो। लेकिन 6n + - 1 रूप की संख्या हमेशा भाज्य हो। ऐसी कोई गारंटी नहीं है। सुनिएगा हर प्राइम नंबर को 6n + - 1 करके लिख सकते हो। दिखाया एग्जांपल ट्रेलर दिखाया मैंने। लेकिन कोई भी नंबर मुंह उठा के आ जाए कि भैया मैं तो 6n + - 1 का हूं। वह प्राइम नंबर बने ऐसी कोई गारंटी नहीं है। जैसे एग्जांपल के लिए मैंने आपके सामने लिखा 25। 25 25 को आप 25 कोई प्राइम है। 25 एक से भी कटता है। पांच से भी कटता है। 25 से भी प्राइम नंबर नहीं है। तीन-तीन बालक हैं 25 के। 25 को आप लिख सकते हो 6 * 4 + 1 हो गया 6n + 1 लेकिन क्या 25 प्राइम बना? नहीं बना। जबकि 31 और 17 प्राइम बन रहे हैं। सुनिएगा सीधी बात सही है। उल्टी सही भी हो सकती है और नहीं भी। है ना बच्चों? तो हर प्राइम नंबर को 6n + - 1 के 2:30:59 रूप में एक्सप्रेस कर सकते हैं। लेकिन कोई भी नंबर अगर 6n - 1 रूप का लिखा हुआ है तो हमेशा वो प्राइम बन ही जाए। ऐसा कौनो गारंटी नहीं है। ठीक है बच्चों? या तो 6n + 1 या 6n - 1 में होना चाहिए प्राइम नंबर। ठीक है? समझ में आया? आप बोलोगे जी सर बहुत बढ़िया गजब मजा आ रहा है सवाल चलो सवाल भी कराऊंगा पहले हैं देखिए ये सवाल आए हैं पुलिस वाले जो बच्चे थे ना पुलिस कांस्टेबल की तैयारी करने वाले बच्चे उनके एग्जाम के फेवरेट सवाल हैं एग्जामिनर के ये फेवरेट सब फैक्ट यहां पे लिखा हुआ है बताइए सबसे छोटी छोटी अभाज्य संख्या दो। अगर आपसे पूछा जाए स्मालेस्ट प्राइम नंबर क्या है? दो। लेकिन यह प्राइम नंबर क्या है? सिंगल डिजिट है। क्या है? सिंगल डिजिट। लेकिन पूछ लिया जाए सबसे छोटा दो डिजिट का प्राइम नंबर क्या है? सबसे छोटी अभाज्य 2:32:01 संख्या। लेकिन दो अंकों की दो अंकों की सबसे छोटी अभाज्य संख्या हो जाएगी 11। वैसे 10 दो अंकों का नंबर है। लेकिन 10 प्राइम नहीं होता। 10 के बाद क्या बचता है? 11। 11 प्राइम है। आपसे पूछ लिया जाए दो अंकों की सबसे बड़ी अभाज्य संख्या लार्जेस्ट टू डिजिट प्राइम नंबर। ऐसी संख्या जो दो अंकों की हो, सबसे बड़ी हो और प्राइम हो। कौन सा है? 97 97 है। 97 तीन अंकों का सबसे छोटा प्राइम नंबर 101। 101 को आपने बस ऐसे ही देखा होगा 1 * 101। और कोई रास्ता नहीं मिलेगा इसको तोड़ने का। ठीक है बच्चों? तीन अंकों का सबसे बड़ा प्राइम नंबर लार्जेस्ट थ्री डिजिट प्राइम नंबर है 99 यहां तक तो पता होना ही चाहिए 97 इसके आगे मैं बता रहा हूं ना पुलिस कांस्टेबल वाले बच्चों के लिए फेवरेट है ये वाली चीज नहीं जानते बच्चे चार अंकों की सबसे छोटी अभाज्य संख्या 2:33:02 स्मॉलेस्ट फोर डिजिट प्राइम नंबर क्या है 109 स्मॉलेस्ट फोर डिजिट प्राइम नंबर 109 9 और यही सवाल आया था इस बार यूपी कास्टेबल 2025 में यही वाला पूछा गया था है ना यूपी कांस्टेबल में आया था ये वाला ठीक है इस बार का 26 में हुआ था ना पेपर तो 25 का था हुआ 26 में था 109 चार अंकों की सबसे छोटी अभाज्य संख्या 109 चार अंकों की सबसे बड़ी अभाज्य संख्या 997 73 ये आया दिल्ली पुलिस कांस्टेबल 2023 में समझे ना पांच अंकों की सबसे छोटी अभाज्य संख्या पांच अंकों की सबसे छोटी अभाज्य संख्या 107 107 स्मालेस्ट फाइव डिजिट प्राइम नंबर 107 पांच अंकों की सबसे बड़ी अभाज्य संख्या 9991 9991 लार्जेस्ट फाइव डिजिट प्राइम नंबर क्या है 2:34:03 9999 9991 ठीक है बच्चों तो ये डाटा आपके आपके दिमाग में होना चाहिए। याद ही करना पड़ेगा। ठीक है? चलिए इतनी सी बात पता है तो क्यों ना प्राइम नंबर के मीठे-मीठे सवाल कर लिए जाएं। करें। आइए। द नेचुरल नंबर हुस ओनली फैक्टर्स आर वन एंड द नंबर इटसेल्फ इज कॉल्ड ए बताओ। वो नेचुरल नंबर जिनके फैक्टर्स केवल वन और वो संख्या खुद है कहलाते हैं प्राइम नंबर्स। सीजीएल का सवाल है। है ना? वो संख्या वो संख्या जिसके केवल दो ही फैक्टर हैं। वन और वो खुद क्या है? प्राइम नंबर। ये प्राइम नंबर की परिभाषा ही पूछ ली है पेपर में। बताइए। द स्क्वायर रूट ऑफ एनी प्राइम नंबर। किसी प्राइम नंबर का स्क्वायर रूट क्या होता 2:35:04 है? प्राइम नंबर मैंने पकड़ लिया प्यारे बच्चों। मान लीजिए सात। सात प्राइम नंबर है। सात का जब मैं स्क्वायर रूट करूंगा तो क्या आएगा? नॉन टर्मिनेटिंग नॉन रिपीटिंग डेसिमल। यानी कि रैशन तो आएगा ही नहीं। ये होल नंबर बता बचा ही नहीं। ये इंटीजर बचा ही नहीं। क्या बचा ये? किसी भी प्राइम नंबर का आप स्क्वायर रूट करेंगे। कोई एग्जैक्ट वैल्यू नहीं निकलेगी। क्या आएगा? इररेशनल नंबर आएगा। इररेशनल नंबर होता ही है प्राइम का स्क्वायर रूट। एनटीपीसी 12th लेवल सीबीटी वन का सवाल आ जाओ। अगर n एक नेचुरल नंबर है। n एक नेचुरल नंबर है तो क्या है? n कोई भी नेचुरल नंबर है तो क्या है? हमेशा एक नेचुरल नंबर होगा। n ऑलवेज एक रैशन नंबर होगा। n ऑलवेज एक इररेशनल नंबर होगा या n आइदर ए नेचुरल नंबर या तो नेचुरल नंबर होगा या 2:36:04 फिर इररेशनल नंबर होगा। यही वाली बात सही है। देखो n एक नेचुरल नंबर है तो n क्या होगा? मान लीजिए मैं n लेता हूं आपके सामने चार। चार एक नेचुरल नंबर है। तो चार का मैं अंडर रूट निकालूंगा तो क्या आएगा? दो। दो क्या बन गया? एक नेचुरल नंबर बन गया। दो क्या बन गया? नेचुरल नंबर। लेकिन अगर मैं n का मान लेता हूं मान लीजिए पांच। तो अगर मैं पांच का रूट निकालूंगा रूट 5 क्या आएगा? 2.23 डॉट डॉट डॉट डॉट डॉट डॉट करके एप्रोक्स आएगा ये आपका नॉन टर्मिनेटिंग नॉन रिपीटिंग यानी कि एक इरैशनल नंबर। तो यानी कि N नेचुरल नंबर भी आ सकता है और इररेशनल नंबर भी आ सकता है। अगर n का मान परफेक्ट स्क्वायर पूर्ण वर्ग होगा तो नेचुरल आएगा। नहीं होगा तो इररेशनल आएगा। तो यहां पर डी ऑप्शन है। बी वाला नहीं है। क्या है? डी ऑप्शन। बताइए अगला सवाल 2:37:04 कौन करेगा? 2:37:14 हम हम ये लाइक 1 लाख से आगे नहीं बढ़ रहा भाई। सीधा 2 लाख दिखाएगा क्या? अच्छा 105000 हो गया। अच्छा निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही नहीं है? चार-चार कथन दे रहा है एग्जामिनर। छाती ठोक के बताओ कौन सा सही नहीं है? देयर आर ओनली फोर सिंगल डिजिट प्राइम नंबर्स। एक एक अंक वाले केवल चार ही प्राइम नंबर्स हैं। चेक कर लेते हैं। प्राइम नंबर कौन-कौन सा है? दो है। एक अंक का फिर दो के बाद तीन आएगा। फिर पांच आएगा। फिर सात आएगा। फिर आगे आएगा 11 जो दो अंकों का हो जाएगा। तो यानी कि सिंगल डिजिट प्राइम नंबर केवल चार हैं। पहली बात सही है। ये भी एक फैक्ट है। जी। देयर आर इनफाइनाइटली मेनी प्राइम नंबर्स। प्राइम नंबर्स जो हैं इनफाइनाइट है। बिल्कुल। नेचुरल नंबर का 2:38:16 कोई अंत नहीं। नेचुरल नंबर के भीतर ही प्राइम नंबर्स हैं। उनका भी कोई अंत नहीं। चलते ही चलेंगे। इनफाइनाइट प्राइम नंबर्स होते हैं। ए प्राइम नंबर हैज़ ओनली टू फैक्टर्स। प्राइम नंबर के केवल दो ही फैक्टर होते हैं। वन और खुद सही है। ऑल प्राइम नंबर्स आर ऑड। ये बात सारे प्राइम नंबर्स ऑड नहीं होते। दो एक अकेला प्राइम नंबर बच जाता है जो इवन होता है। है ना? तो यह बात गलत हो गई। बताइए अगला सवाल। 2:38:49 वन इज नाइदर प्राइम नर कंपोजिट। कौन सा कथन सही नहीं है? सही नहीं। गलत कथन बताना है। वन ना तो प्राइम है ना ही कंपोजिट। मैंने पढ़ाया एकदम सही बात है। ज़ीरो इज़ नाइदर पॉजिटिव नॉर नेगेटिव। सही बात है। ज़ीरो ना पॉजिटिव है ना नेगेटिव। आगे इफ P * Q इज़ इवन। अगर p * q इवन है देन p एंड q आर ऑलवेज इवन। ठीक है? ये भी मैं बताऊंगा अभी। 2 एक इरैशनल नंबर है। ये बात भी सही है। जब तीन बातें सही होंगी तो सी वाली गलत हो जाएगी। देखो सवाल कह रहा है कि p * q = e1। अभी मैंने इवन ऑड नहीं पढ़ाया पर आप कर लोगे। p * q अगर इवन है। दो संख्याओं की गुणा इवन है। तो कह रहा है p और q ऑलवेज इवन होंगे। नहीं ऐसा जरूरी नहीं है। मान लीजिए p आपका चार है इवन नंबर और q आपका सात है ऑड नंबर तो गुणा करके भी 4 * 7 = 28 क्या आ गया? इवन नंबर आ गया। तो अगर दो संख्याओं की गुणा इवन है तो हो सकता है कि उसमें एक इवन हो और एक 2:39:50 दोनों ही इवन हो। ऐसे जरूरी तो आंसर क्या आएगा? सी ऑप्शन। ठीक है ना? चलिए आइए। ग्रुप डी का सवाल भी करवाते हैं भाई आपको हम। हैं? ग्रुप डी का सवाल भी करवाते हैं। मस्त बता दो जरा। कौन सा कथन सत्य है? भाई चार बात है। एक सत्य वाली बता दो। वन इज ए प्राइम नंबर। बिल्कुल असत्य है। वन प्राइम ना है ना कंपोजिट। ऑल प्राइम नंबर एक्सेप्ट दी नंबर टू आर ओड नंबर्स। एकदम सही बात है। दो के अलावा जितने भी प्राइम नंबर हैं सब के सब ओड हैं। यानी कि एक बार थ्योरी अच्छे से पढ़ ली जाए। बच्चा पढ़ पेशेंस ही नहीं है उसके पास भाग जाता है। तो सवालों में कुछ भी दम नहीं होता। थ्योरी एक बार अच्छे से पढ़ ली जाए। देयर आर सेवन प्राइम नंबर बिटवीन वन एंड 20। वन और 20 के बीच सेवन प्राइम नंबर है। 2 3 5 7 11 13 17 सात हो गए। यानी कि ये वाली बात एकदम सही है। इफ नंबर x इज 2:40:54 प्राइम देन नंबर x + 1 इज ऑलवेज प्राइम। है ना? 2:41:06 2 3 5 7 11 13 17 19 भी तो है ना 2 3 5 7 11 13 17 19 ये हां आठ हो गए भाई तो ये वाली बात क्या हो जाएगी अच्छा गलत ही तो निकालना था हमें हां ये वाली बात क्या है गलत है ठीक है अगला इफ नंबर x इज प्राइम देन देन नंबर x + 1 इज ऑलवेज प्राइम। क्या ये सही है? अगर कोई नंबर x प्राइम है। जैसे मान लीजिए x मैंने मान लिया पांच। क्या है? प्राइम है। तो अगर मैं x + 1 करूंगा तो 5 + 1 क्या हो जाएगा? छह। ये तो कंपोजिट हो गया। प्राइम बचा ही नहीं। यानी कि बात भी तो तीन बातें यहां गलत थी। केवल बी वाली बात सही। थी। अच्छा सही। एक ही बात थी इसमें बी ऑप्शन। आइए अगला लेते हैं। बताओ। 2:42:03 मजा आ रहा है कथनों पर विचार करो। बताइए कौन सा सही है? एव्री प्राइम नंबर इज ऑड। धतरी की सारे प्राइम नंबर्स ऑड नहीं होते। एक दो इवन भी निकल जाता है। है ना? दोगला प्रोडक्ट प्रोडक्ट ऑफ़ एनी टू प्राइम नंबर इज़ ऑड। किन्ही भी दो प्राइम नंबर का प्रोडक्ट ऑड होता है। क्या यह बात सही है? किन्हीं भी दो अभाज्य संख्याओं की गुणा हमेशा ऑड आएगी। बात सही नहीं है। देखो दो एक प्राइम नंबर है। प्राइम नंबर है दो। सात भी एक प्राइम नंबर है। इनकी गुणा करो। क्या आएगा? 14 और 14 कैसा नंबर है? इवन। दो प्राइम नंबर की गुणा करके इवन आ रहा है। विषम नहीं आ रहा। तो क्या आंसर है यहां पे? कोई भी सही नहीं निकला। नाइदर वन नॉर टू। ठीक है ना? इवन ऑड भी मैं समझाऊंगा अभी। आइए, यह बताएंगे। व्हिच ऑफ़ द फॉलोइंग स्टेटमेंट इज़ नॉट ट्रू। चार आपके पास कथन है। कौन सा सही नहीं है? यह वाला जो सवाल 2:43:06 है, यह सीडीएस का क्वेश्चन है। और यह 2020 से पहले का सवाल है। पुराना सवाल है। लेकिन देखो सीडीएस से ही कॉपी कर करके एसएससी रेवे वाले ये सवाल बनाना सीखें। लेकिन सीडीएस थोड़ा माहौल बनाता है। ये थोड़ा हल्का रह जाते हैं। बताइए। चार ऑप्शन है। इसमें एक बात गलत दी हुई है। वही गलत बात आपको ढूंढ के बतानी है। 2:43:34 मोदी जी भी आ गए क्या? बैन करो उनको। हम द डिफरेंस ऑफ टू प्राइम नंबर्स बोथ ग्रेटर देन टू इज डिविजिबल बाय टू। दो प्राइम नंबर जो दो से बड़े हैं उनका डिफरेंस हमेशा दो से कटेगा। कोई भी आप प्राइम नंबर पकड़ लीजिए दो से बड़े जैसे पांच और सात दोनों विषम होंगे। इनका डिफरेंस दो दो से कटेगा। आपने पकड़ लिया 11 और 19। इनका डिफरेंस आएगा आठ। तो इनका डिफरेंस इवन आएगा दो से। पहली बात एकदम सही है। दो से बड़े जितने भी प्राइम नंबर है सारे क्या होंगे? विषम और उनका अंतर हमेशा दो से विभाज्य होगा। ठीक है? बी वाला ऑप्शन फॉर टू डिफरेंट इंटीजर m n दो अलग-अलग पूर्णांक है m और n एंड ए प्राइम नंबर p एक प्राइम नंबर p है 2:44:34 इफ p डिवाइड्स द प्रोडक्ट ऑफ प्रोडक्ट m * n अगर p m * n के प्रोडक्ट को डिवाइड करता है देन p डिवाइड्स आइदर m और n देन प्यारे दोस्तों p या तो m को डिवाइड करेगा या n को डिवाइड करेगा। बताओ बच्चों क्या आप यह बात समझ पा रहे हैं? देखिए दो अलग-अलग नंबर हैं। अलग-अलग ही बोला है ना? दो डिफरेंट नंबर हैं अलग-अलग। M और N उनको डिवाइड करते हैं प्राइम नंबर P से। P क्या है? प्राइम नंबर। और ये डिवाइड हो जाता है। एग्जैक्ट डिवाइड हो जाता है प्यारे बच्चों। अगर एग्जैक्ट डिवाइड हो रहा है तो एग्जैक्ट डिवाइड कभी होगा? जब या तो m के अंदर p आ जाए या n के अंदर p आ जाए। है कि नहीं? नहीं समझे होंगे। जैसे मान लीजिए हम एक प्राइम नंबर पांच से भाग कर रहे हैं। एक संख्या है 12 और एक संख्या है प्यारे बच्चों यहां पे हम 2:45:35 ले लेते हैं 19। तो क्या 12 * 19 पांच से भाग होगा? नहीं होगा। 12 की 19 में गुणा करो। पांच से भाग होगा ही नहीं। दशमलव में आएगा। लेकिन अगर मान लीजिए यहां 12 की जगह मैं कर दूं 15 तो देखो ये पांच से भाग हो जाएगा ये गुणा क्योंकि इस 15 के भीतर क्या आ गया पांच प्राइम नंबर आ गया तो यानी कि बात सही कह रहा है अगर प्यारे बच्चों p m * n को डिवाइड करता है यानी कि p या तो m को काट रहा होगा या n को काट रहा होगा। ठीक है? पी या तो m को विभाजित करेगा n को। तो ऑप्शन नंबर बी भी तीसरा देखते हैं। यदि कोई नंबर 6n - 1 फॉर्म का है। n एक नेचुरल नंबर है तो ये प्राइम नंबर होगा। यह बात सही है कि गलत है? यह बात गलत है। अभी तो मैंने बताया किसी भी हैं। किसी भी प्राइम नंबर को 6n + - 1 रूप में 2:46:35 लिखा जा सकता है। लेकिन उल्टा सत्य है। अगर कोई नंबर मुंह उठा के 6n - 1 या 6n + - 1 कर लीजिए। कोई नंबर अगर 6n + -1 का लिखा हुआ है तो प्राइम नंबर बने इसकी कोई गारंटी नहीं है। तो सी ऑप्शन गलत हो जाएगा। डी वाला डी वाला भी सही होना चाहिए प्यारे बच्चों। देयर इज़ ओनली वन सेट ऑफ थ्री प्राइम नंबर सच दैट देयर इज़ ए गैप ऑफ टू बिटवीन दी टू एडजेसेंट प्राइम नंबर। केवल एक ही सेट ऐसा है जिसमें तीन लगातार प्राइम नंबर्स में दो-दो का गैप बनता है। एक ही सेट है मैंने पढ़ा है तीन पांच और ये एक ही सेट है जिसमें दो लगातार प्राइम नंबर के बीच में दो-दो का गैप है। बाकी आपको ऐसा और कोई नहीं मिलेगा। तो ये बात सही है। तो क्या है? सी ऑप्शन गलत है। आइए आगे चलते हैं। अगला देखिए। दिल्ली पुलिस कांस्टेबल 2023 का सवाल है। बनाइए इसका आंसर क्या आएगा? फटाफट से। 2:47:35 हम [नाक से की जाने वाली आवाज़] तीन अंकों की सबसे छोटी अभाज्य संख्या और तीन अंकों की सबसे बड़ी अभाज्य संख्या का योग क्या है? अभी मैंने पढ़ाया। अब जिस बच्चे को पता ही नहीं होगा वो तो सॉल्व करने लगेगा। तीन अंकों का सबसे छोटा प्राइम नंबर 10 तीन अंकों के सबसे बड़ा प्राइम नंबर 99 7 इनको जोड़ के कितना आएगा? 1098 कौन सा ऑप्शन है? सही है ना बच्चे? कुछ भी नहीं था। केवल फैक्ट पता होना चाहिए। बताइए 50 से छोटी अभाज्य संख्याओं की कुल संख्या ज्ञात कीजिए। आया बिल्कुल फैक्ट। टोटल नंबर ऑफ प्राइम नंबर लेस देन 50। 50 से छोटे कितने प्राइम नंबर्स होते हैं? तो 50 से छोटे कितने प्राइम नंबर हैं? एक और 50 के बीच में? 15। सीधा है 15। आइए जी। ये बताओ 70 और 80 के बीच में कितने प्राइम नंबर्स आते हैं? सवाल आया है अभी जीडी 2026 में। 2:48:37 अभी लेटेस्ट पेपर यही हुआ है एसएससी का। ठीक है? 70 और 80 के बीच में कितने प्राइम नंबर्स आते हैं? बताओ। 70 80 के बीच में 71 आएगा। 72 नहीं 73 और 79 यानी कि तीन आएंगे। ठीक है ना बच्चों? कोई फार्मूला नहीं है। आपको सिंपल दिमाग में होना चाहिए। तीन प्राइम नंबर्स आएंगे 70 80 के बीच में। आइए आगे चलते हैं। यह भी एसएससी जीडी 2026 में सवाल आया है। करो। 120 तथा 140 के बीच में आने वाले सभी प्राइम नंबर्स का योग क्या है? बनाइए जरा। 2:50:12 देखो प्राइम नंबर्स मतलब मतलब ऐसी संख्या जिनके केवल दो ही बच्चे हो। यानी कि ऐसे नंबर जो आप ज्यादा देखते नहीं हो। जैसे मैं आपसे कहूं 112 दिख जाता है। 16 * 7 112 प्राइम नहीं बचा। तो 120 के बाद 121 नहीं है। 111 का वर्ग हो गया। 122 भी नहीं। 123 तीन से कट जाएगा। 124 भी दिखता है। 125 26 क्या है? 127 127 सड़ा हुआ नंबर है। मुझे तो नहीं दिखा किसी पहाड़े में 127 आता हो। दिखता है क्या? 6n + 1 भी है। है कि नहीं प्यारे बच्चों? फिर उसके बाद 100 28 कट जाएगा बेटा चार से। है ना? 139 तीन से कट जाएगा। 130 भी 10 से कट जाएगा। 100 131 सड़ा हुआ है। 133 आएगा दिमाग में। 133 होता है प्यारे बच्चों। कितना? 19 * 7 = 133 यह प्राइम नहीं बचा। तो 131 के बाद 2:51:12 133 के बाद 100 137 सड़ा हुआ आपको दिख रहा है। 13 7 137 और उसके बाद 138 139 139 भी आ रहा है क्या? 139 किसी से नहीं कटता। 139 किसी से भी नहीं कटता। ठीक है ना? बहुत से बच्चों के मन में डाउट आ सकता है कि सर हम कैसे पता लगाएंगे कि 139 प्राइम नंबर है कि नहीं है? क्योंकि प्राइम नंबर की परिभाषा क्या है? जो या तो एक से कटे या खुद से कटे। अब 139 देखने में सड़ा हुआ सा लग रहा है। तो आप ये देखो 139 से नीचे 139 से नीचे कौन सी अभाज्य संख्या का वर्ग आता है? 139 से नीचे आता है 11 का वर्ग 121 क्या आता है? 11 का वर्ग 121 क्या ये 2:52:13 11 से कटता है? नहीं। 11 से छोटा प्राइम नंबर सात। क्या ये सात से कटता है? नहीं। सात से छोटा प्राइम नंबर पांच। क्या पांच से कटता है? नहीं। क्या तीन से कटता है? नहीं। क्या दो से कटता है? नहीं। किसी से नहीं कटता। यानी कि यही क्या है? समझे ना बच्चों? कोई तकलीफ? तो इन प्राइम नंबर्स का क्या पूछा है आपसे? योग। अब बताओ इनका जब मैं योग करूंगा तो क्या निकालूंगा? केवल? यहां जीरो आ रहा है। यहां दो आ रहा है। यहां सात आ रहा है। यहां क्या इकाई का अंक जोड़ लूंगा? तो सात और एक आठ। आठ सात 15 और 9 24 तो एंड में चार आएगा। यानी कि आंसर है 500। सबको समझ में आया? मजा आया ना करके। ठीक सवाल है। यह तो जीडी के हिसाब से हैं। इसको चार्जिंग पर लगवाना सचिन। ठीक है? मजा आया? आइए आगे चलते हैं। निम्नलिखित में कौन सी एक अभाज्य संख्या 2:53:15 है? वि नंबर इज सड़ा हुआ जो या तो एक से कटता है या खुद से? कौन सा? बताइए, कौन सा नंबर है? देखो, कुछ नंबर्स ऐसे होते हैं जिनकी आपको नॉलेज होनी चाहिए। जैसे मैं आपको बता रहा हूं, बहुत आपको हेल्प करेगा कैलकुलेशन में। 132 है। 11 * 12 143 है। 11 * 13 उसके बाद 156 है 12 * 13 187 187 होता है 11 * 17 187 209 209 होता है 11 * 19 ठीक है बेटा। 221 221 होता है 13 * 17 13 * 17 224 224 होता है 16 * 14 ये नंबर्स बहुत इंपॉर्टेंट कैलकुलेशन है। 125 2:54:17 * 8 होता है 1000 याद रखिए हैं भाई। 625 गु 8 होता है 5000 बहुत जरूरी है जिंदगी में यह चीजें। अगर कैलकुलेशन मजबूत करनी है तो यह सब पता होना चाहिए। कौन सा प्राइम नंबर है? 221 प्राइम नंबर है नहीं। 13 17 से कट रहा है। 161 पहाड़ा याद है। 23 * 7 161 23 7 23 से भी कट रहा है और सात से भी। 23 * 7 है। तो या तो ए होगा या डी होगा। ठीक है बच्चों? हम कैसे पता लगाएं? क्योंकि दोनों ही देखने में सड़े हुए लग रहे हैं कि 437 प्राइम नंबर है कि नहीं। कैसे पता लगाएं? इसका बेस्ट मेथड क्या है? है बच्चों? तो 437 से छोटा देखो कौन से प्राइम नंबर का स्क्वायर बनता है? किस प्राइम नंबर का स्क्वायर बनता है? 437 से छोटा तो आप कहोगे सर 23 का वर्ग तो 529 है। 19 का वर्ग क्या 2:55:18 बनता है? 19 का वर्ग 300 क्या ये नंबर 19 से कटता है? 19 * 2 = 38 और 5 19 * 3 = 57 कट गया तो सीधा कट गया 19 से 19 से कट गया कितनी बार 19 * 2 = 38 और 5 19 * 3 = 57 यानी कि नंबर 19 से भी कट रहा है और तो ये कहीं से भी प्राइम नंबर नहीं है। तो प्राइम नंबर क्या होगा फिर? यह नंबर या तो 19 से कटना चाहिए या 19 से छोटे प्राइम नंबर 11 से 17 से सात से इनसे कटना चाहिए। चेक अगर 19 से ना कटता तो फिर छोटों से चेक करते। समझ आया? तो 373 क्या निकला? प्राइम नंबर। ठीक है ना बच्चों? चलिए आगे चलते हैं। बताइए ये सवाल इसी साल आया सीजीएल में 2000 25 में प्री में। दो प्राइम नंबर का प्रोडक्ट 400 37 है। उन दो संख्याओं का योग क्या है? समझे मेरी बात को? दो प्राइम 2:56:19 नंबर का प्रोडक्ट 437 है। मैंने अभी पढ़ाया कि 437 से छोटा देखो किस प्राइम नंबर का स्क्वायर है? 19 का। क्या 19 से कटता है? हां जी कट रहा है। कितनी बार? 23 बार। तो दो प्राइम नंबर 19 और 23 की गुणा है 437। आपसे क्या पूछा? 19 और 23 का क्या आ गया? समझे ना? कर लोगे ना सवाल? कोई तकलीफ ये बताइए। 400 यह रेलवे का पर्सनल फेवरेट है। अगर आप रेलवे एग्जाम्स की तैयारी करते हैं तो आप इस तरह का सवाल 100% पेपर में पाओगे। 472 और 486 के बीच में कितने प्राइम नंबर टपकते हैं? इनके बीच में। जिसमें दोनों नंबर भी इंक्लूड करने हैं। दोनों भी शामिल करने हैं। ठीक है बच्चों? अब देखिए। 472 486 के बीच में दी गई दोनों संख्याएं भी शामिल करनी है। कितने प्राइम नंबर हैं? पहली बात 472 कोई प्राइम नंबर नहीं है 2:57:21 क्योंकि ये दो से कट रहा है। एंड में दो आ रहा है। है कि नहीं? 400 73 चलो ये सड़ा हुआ दिख रहा है। ये प्राइम नंबर हो सकता है। बाद में देखेंगे। 400 74 474 के एंड में चार आ गए। दो से कट गया। जबकि प्राइम नंबर एक से कटने चाहिए या खुद से। क्या बचा फिर? 400 75 475 के एंड में पांच आ रहा है। किससे कट जाएगा? पांच से। ऐसे आपको देखते जाना है। 476 भी एंड में दो से कट जाएगा। 400 477 सड़ा हुआ दिख रहा है। दिख रहा है ना? ठीक है? उसके बाद 400 78 दो से कट जाएगा। 400 79 479 ये भी सड़ा हुआ दिख रहा है। दिख रहा है ना? 470 उसके बाद 480 10 से कट जाएगा। 481 481 भी सड़ा हुआ दिख रहा है। दिख रहा है ना? 48 वन 482 कट जाएगा दो से। 400 2:58:21 83 भी सड़ा हुआ दिख रहा है बच्चों। 400 84 किसका वर्ग है? 22 का वर्ग होता है। 485 तो पांच से कट ही रहा है। 486 दो से कट ही रहा है। तो यही नंबर दिखे। इन नंबर्स में मुझे गंदी सी शक्ल दिखी है केवल इन पांच नंबर्स की। यही है ना बच्चों? अब मुझे इनमें से देखना है कौन सा प्राइम है और कौन सा नहीं। ठीक है बच्चों? बताओ। 473 473 11 से कट रहा है। 11 * 4 = 44 11 * 3 है ना? मैं अभी 11 का नियम आपको पढ़ाऊंगा इसी क्लास में। 4 + 3 7 का अंतर ज़ीरो। अभी पढ़ाऊंगा। टेंशन मत लेना। आप जान जाओगे कि यह नंबर 11 से कट रहा है। तो ये प्राइम नहीं है। 400 बताइए। 7 + 7 14 4 18 ये नंबर नौ से कट रहा है। 9 * 5 = 45 9 * 3 ये नंबर नौ से कट रहा है। 2:59:21 है भाई बच्चों ये बताइए आपका। यह भी 4 + 3 7 8 15 तीन से कट रहा है। 3 से 48 16 बार तीन से तीन एक बार तो बचा 479 और 48 वन 479 कट रहा है क्या? 4 7 11 9 20 नहीं 479 के करीब किस प्राइम नंबर का स्क्वायर है? 479 से छोटा बताओ 19 का। क्या 479 19 से कटता है? 19 * 2 = 38 और बच जाएगा आपका 99 नहीं। 19 से नहीं कट रहा। 19 से छोटा हुआ? क्या 17 से कट रहा है? 17 * 2 = 34 बच जाएगा 139 नहीं। 17 से भी नहीं कट रहा। बचा फिर 17 से छोटा देखो 13, 13 * 3 = 39 नौ। नहीं कट रहा भैया 13 से भी। फिर क्या बचा आपका? 11, 11 से कट रहा है क्या? 11 * 4 = 44 नहीं। 11 से भी नहीं कट रहा। सात से भी नहीं कट रहा। है ना? 7 * 6 = 42, नहीं। सात से भी नहीं कट रहा। यानी कि 3:00:22 किसी से भी नहीं कटा। तो 479 क्या है? प्राइम नंबर है। तो एक प्राइम नंबर तो हमें मिल गया। तो जीरो आंसर नहीं है इसका। तीन आंसर नहीं है। यहां तो एक हो गया या 481 481 प्यारे बच्चों बताइए क्या ये प्राइम नंबर है? 4 1 5 8 13 तीन से तो नहीं कट रहा। 481 के करीब आता है। 19 क्या 19 से कट रहा है? 19 * 2 = 38 101 बच गया। नहीं 19 481 से छोटा किस प्राइम नंबर का स्क्वायर है? 19 का। 19 से नहीं कट रहा। 17 से -1 का अगर होल स्क्वायर बन रहा है तो 17 17 से प्यारे बच्चों 17 * 2 = 34 17 से भी नहीं कट रहा। 13 से मस्त कट गया। 13 * 3 = 39 और 9 13 * 7 तो यह नंबर किससे कट गया? यह नंबर 13 से कट रहा। इसलिए वाला प्राइम नहीं है। तो आंसर क्या है? 479 यह मैंने आपको एक सवाल बताया बहुत डिटेल 3:01:23 में बहुत बेसिक में। अगर आप कभी रेलवे का प्रीवियस ईयर निकालोगे तो कम से कम आपको प्रीवियस ईयर में इस तरह के 100 से ज्यादा सवाल मिलेंगे और हर सवाल में अलग-अलग वैरायटी के नंबर हैं और हर सवाल में दुनिया भर की ट्रिकें होती हैं। वह सब काम नहीं करेंगी। यही मेथड है जो उन 100 सवालों में काम करेगा। सब के सब सवालों में 10 - 56 से डिवाइड होगा। नहीं गलत हो सकता है। हम देखो वैसे अगर यह प्राइम नंबर है तो 6n + -1 का होना चाहिए। ये 6n - 1 है। 6 * 80 - 1 यही तो 6 * 80 + 1 ये भी है। गलत हो गया ना? तो हर जगह जो है वो मत पे। तो यही मेथड है। यही आपको करना पड़ेगा। ठीक है ना प्यारे बच्चों? किस कोई नंबर प्राइम कोई नंबर जो है प्राइम है कि नहीं? उसकी बेस्ट ट्रिक यही है कि उससे छोटा देखो कौन से प्राइम नंबर का स्क्वायर है। उससे काट काट के देखो। कट गया तो ठीक है 3:02:25 नहीं कटा तो प्राइम हो जाएगा। समझ में आया ना बच्चों? ये बेस्ट क्वेश्चंस लिया है मैंने प्रीवियस ईयर का रेलवे वाला। आइए आगे चलते हैं। मुझे लगता है समझ में आया होगा। खड़े जी समझे होंगे ये? हैं ना समझे होंगे तो ऐसी ततसी में जाओ अपनी। हमने इतनी मेहनत कर दी तुम्हारे लिए। चलो चलो सबसे बड़ा चार अंकी अभाज्य संख्या कौन सी है? लार्जेस्ट फोर डिजिट प्राइम नंबर क्या है? दिल्ली पुलिस कांस्टेबल का सवाल है। आपको नॉलेज ना हो तो नहीं पकड़ पाओगे। एक-एक नंबर चेक करना पड़ेगा। 99 73 9973 स्मालेस्ट फोर डिजिट प्राइम नंबर क्या है? 109 स्मालेस्ट फोर डिजिट प्राइम नंबर। ठीक है बच्चे? चलिए आगे चलते हैं। यहां पे अगला सवाल ये बताइए। सीजीएल 2020 प्री का क्वेश्चन है। 110 तक की सभी विषम अभाज्य संख्याओं को एक 3:03:27 साथ गुणा किया जाता है। तो पूछा व्हाट इज द यूनिट डिजिट ऑफ दिस प्रोडक्ट? इस प्रोडक्ट का यूनिट डिजिट क्या है? 110 तक हमने जितनी भी प्राइम नंबर हैं सबको गुणा कर दिया। तो गुणा करने से जो भी नंबर आएगा बड़ा सा उसका इकाई का अंक क्या होगा? तो 110 तक की सभी ओड नंबर्स को गुणा किया है। विषम अभाज्य संख्याओं को गुणा किया है। विषम विषम माने मतलब दो नहीं लेंगे। दो भी प्राइम नंबर है लेकिन इवन। तो क्या लेंगे फिर हम? तीन 5 7 11 13 इस तरीके से हम गुणा करेंगे। बताओ। इनकी गुणा करने पर एक बड़का सा नंबर आएगा। उस नंबर का यूनिट डिजिट क्या होगा? इकाई का अंक कोने में सबसे ज्यादा क्या आएगा? देखो बेटा इतनी बड़ी गुणा नहीं करनी आपको। एक नंबर आपको दिखाई दे रहा है यहां पर पांच। पांच स्पेशल है। पांच की अगर दो में गुणा करो इवन में तो आएगा 0 और पांच की विषम में गुणा करो तो आएगा पांच की 5 * 3 = 15 5 * 7 = 35 5 * 9 45 है ना? 5 * 11 55 पांच की 3:04:31 आप विषम नंबर में गुणा करते जाओ। अनंत कितनी भी विषम संख्याओं में ही तो गुणा हो रहे हैं। तो एंड में क्या आएगा? पांच यूनिट डिजिट आएगा। तो आंसर क्या हुआ? सी सही है ना? कोई तकलीफ सी। तो यहां पर ध्यान देना था पांच। मान लीजिए ये सवाल तो आ रखा है पेपर में। दोबारा एग्जामिनर का बनाने का मन है। उसने ये हटा दिया यहां से। उसने यहां से विषम शब्द हटा दिया। ठीक है? अब बताओ इस सवाल का आंसर क्या आएगा? फिर 110 तक के सब प्राइम नंबर को गुणा करने पर यूनिट डिजिट क्या आएगा? तो 110 तक प्राइम नंबर तो दो भी आएगा ना? तो आप गुणा करोगे प्यारे बच्चों तो 2 * 5 एंड में क्या आएगा यूनिट डिजिट जीरो आएगा कि नहीं आएगा मस्त है फिर यूनिट डिजिट जीरो आएगा आइए ये बताएंगे बच्चों करिए अगला सवाल आपके सामने है। ठीक है ना? n इज द स्मालेस्ट थ्री डिजिट प्राइम नंबर। n तीन अंकों का सबसे छोटा प्राइम नंबर है। 3:05:32 n को जब 13 से डिवाइड किया जाता है तो रिमाइंडर क्या होगा? यह सवाल इसलिए मैंने लिए हैं कि आपको पता चल जाए कि प्राइम नंबर्स की फैक्ट पे भी सवाल आते हैं पेपर में। है ना? तो तीन अंकों का सबसे छोटा प्राइम नंबर है 101। आप इसको जब 13 से भाग करेंगे तो 13 * 7 = 91 चला जाएगा। 101 है तो क्या बच जाएगा शेषफल? 10। तो इसका आंसर आएगा ऑप्शन नंबर। कोई दिक्कत नहीं। आइए आगे चलते हैं। अगला प्रश्न है आपके सामने ग्रुप डी 2000 25 का। देखो बेटा अब तक थे मॉडरेट सवाल ईजी सवाल। अब है मॉडरेट लेवल। आओ बच्चों बताओ रेलवे ग्रुप डी 2025 का सवाल है यह। और आप देखो सवाल कतई यूपीएससी को टक्कर दी है इस सवाल ने। ग्रुप डी वालों ऐसे नहीं लगती 3:06:33 ग्रुप डी में नौकरी। यह सवाल आते हैं आपके पेपर में। डालिए Google पर आएगा सवाल। मान लीजिए ab अल्फा और बीटा प्राइम नंबर्स हैं। a b अल्फा बीटा चार प्राइम नंबर्स हैं। सवाल आगे बोला है n इज दी नंबर ऑफ ऑर्डर्ड पेयर्स ऑफ a एंड b वेयर a और b दो और 50 के बीच में हैं। समझ में आया प्यारे बच्चों? n जो है प्यारे बच्चों उन संख्याओं का ऑर्डर्ड पेयर है। n इज दी नंबर ऑफ ऑर्डर्ड पेयर जहां a और b 2 से 50 के बीच में है। a छोटा है b बड़ा है। और कितना? b - a है दो। तो a और b ऐसे दो प्राइम नंबर हैं। a और b ऐसे दो प्राइम नंबर हैं जिनका डिफरेंस दो है। समझे प्यारे बच्चों? ठीक है? और a और b का मान दो से 50 के बीच में है। समझे? कोई डाउट? चलिए। आल्सो अलफा एंड बीटा आर लीस्ट एंड ग्रेटेस्ट प्राइम नंबर लेस देन 50 अलफा और 3:07:37 बीटा सबसे छोटे और सबसे बड़े प्राइम नंबर हैं 50 से छोटे। तो व्हाट इज द वैल्यू ऑफ़ n * अल्फा + बीटा? समझे ना? तो आपको n भी निकालना है, अल्फा भी निकालना है और बीटा भी निकालना है। ध्यान से सुनिएगा। अल्फा बीटा निकालना मेरे लिए आसान है। पहले अल्फा और बीटा दोनों क्या हैं? प्राइम नंबर्स। अल्फा बीटा दोनों प्राइम नंबर हैं। अल्फा सबसे छोटा और बीटा सबसे बड़ा प्राइम नंबर। 50 से 50 से छोटा सबसे छोटा प्राइम नंबर क्या है? अरे 50 से छोटा सबसे छोटा प्राइम नंबर है दो। अल्फा एंड बीटा आर द लीस्ट एंड ग्रेटेस्ट प्राइम नंबर लेस देन 50 अल्फा सबसे छोटा प्राइम नंबर बीटा सबसे बड़ा प्राइम नंबर लेकिन 50 से कम की रेंज में तो 50 से कम की रेंज में सबसे छोटा प्राइम नंबर दो है 3:08:39 और 50 से कम की रेंज में 50 से कम की रेंज में सबसे बड़ा प्राइम नंबर क्या है 47 50 से कम कम में 50 से कम कम में सबसे बड़का प्राइम नंबर क्या है 47 आया ना? तो, यह निकालना है n * अलफा + बीटा तो n n में तो टाइम लगेगा ना। अल्फा + बीटा क्या आएगा? 2 + 47 2 + 47 49 है ना? तो 49 माने सात। 49 से कटने वाला। 49 यानी कि सात से कटने वाला नंबर। 7 * 8 = 56 ये सात से नहीं कटता। 7 * 5 = 35 सात से नहीं कटता। 7 * 4 = 28 ये सात से ये कट रहा है। यह भी नहीं कटा। तो आंसर क्या आ गया? बी आंसर इसका है। बताओ कैसा सवाल है? गजब है ना? हम बेहतरीन सवाल है। अच्छा अगर आपको n का मान निकालना है तो मैं n का मान भी आपको निकाल के बता देता हूं। क्या बोला है? n इज दी नंबर ऑफ ऑर्डर्ड पेयर ऑफ़ A एंड B. N, A और 3:09:43 B के उन पेयर्स की संख्या है। मान लो चार कपल की शादी हो रही है। तो कितना कपल है? चार। तो n a और b को उन पेयर्स की संख्या है जहां b माने से दो है और दोनों क्या हैं? प्राइम नंबर्स। बताओ कौन से ऐसे प्राइम नंबर हैं? 50 से कम कम में। किससे? 50 से कम कम में जिनका अंतर दो हो। तो क्या दिखेगा? दो और तीन का अंतर एक है। 5 और 5 - 3 2 7 - 5 2 उसके बाद 13 - 11 2 13 के बाद आपका आएगा 19 - 17 2 21 23 नहीं होगा हैं बच्चों 27 29 नहीं होगा 31 33 नहीं होगा 37 हैं 29 31 आ गया सही कह रहे हो 31 और 29 और 43 41 इसके अलावा तो कोई मिलेगा नहीं तो बताओ कितने आ गए ये छह पेयर बनेंगे 50 से 3:10:44 छोटे-छोटे तो n का मान क्या है ये छह पेयर ऐसे से बने प्राइम नंबर के जिनका अंतर है। तो n का मान यहां छ रखेंगे तो आंसर आया 6 * 49 लेकिन आपको इतना करने की पूरी जरूरत नहीं थी। ठीक है ना? ऑप्शन भी दिए हुए हैं। आगे चलते हैं प्यारे बच्चों। यह बताएंगे आप सवाल है आपके सामने। बहुत बढ़िया प्रश्न है। अब देखिए इस सवाल को आप इजी कर पाओ। मैं आपको एक छोटा सा कांसेप्ट बता देता हूं। हैं भैया ट ड किधर है कांसेप्ट ये समझिए। चलिए मान लो कि दो संख्याएं x और y हैं। मान लीजिए कि दो संख्याएं x और y हैं। x और y x और y को जोड़ के आता है a और x में से y घटा के आता है b। यानी कि संख्याओं का सम यानी कि योग a है और संख्या x और y का अंतर यानी कि डिफरेंस b है। तो x का मान 3:11:45 क्या आएगा? जोड़ के आधा कर दो। y का मान y मतलब छोटी वाली संख्या। कैसे आएगी? घटा के आधा कर दो। ट्रिक है। कैसे आया ये? भाई अगर आप इन दोनों इक्वेशन को जोड़ो तो y से y कट जाएगा। x + x 2x = a + 2 उधर चला x का मान a + b / 2 तो अगर दो संख्याएं x और y का योग दिया है x और y का अंतर दिया है तो x कैसा आएगा? बड़ी संख्या a और b को जोड़ के आधा कर दो। y यानी कि x में से y घटा रहे हैं। छोटी संख्या a - b को घटा के आधा कर दो। समझे ना? x + y 19 है। x - y 7 है। तो x क्या आएगा बच्चों? बताओ। x का मान आएगा डायरेक्ट। 19 और 7 26 का आधा 13। y का मान 19 - 7 कितना प्यारे बच्चों 12 का आधा छ सीधा है ना चलिए ये बात आपको समझ में आई होगी मैं आपसे सवाल पूछ रहा हूं प्यारे दोस्तों ये वाला जरा बताइए क्या आंसर है बेहतरीन लेवल का सवाल 3:12:50 तीन प्राइम नंबर का योग 90 है। तीन प्राइम नंबर का योग 90 है। उनमें से एक संख्या दूसरी से 30 अधिक है। वन ऑफ देम इज 30 मोर देन दी अदर। एक संख्या दूसरी से 30 अधिक है। व्हिच ऑफ द फॉलोइंग विल बी वन ऑफ देम? तो बताइए उनमें से एक संख्या कौन सी होगी? समझे ना? बताइए। बहुत ही मस्त और मजेदार सवाल होते हैं। ये बहुत मस्त। गजब का क्वेश्चन है। ये दिमाग लगाने लायक। देखिए ध्यान से सुनिएगा। तीन प्राइम नंबर्स हैं। मान लो एक प्राइम नंबर यह है, एक यह है और एक ये है। तीन प्राइम नंबर्स हैं। इन तीन प्राइम नंबर्स को जोड़ के आ रहा है 90। और 90 कैसा है? एक इवन नंबर। 90 एक इवन नंबर है। दो से कटने वाला। समझे प्यारे बच्चों? अब आपसे पूछा है कि इन प्राइम नंबर में कोई एक संख्या दूसरी से 30 3:13:50 ज्यादा है। इन तीनों में से एक ऑप्शन में डाल रखी है। बताओ वो कौन सी है? तीन अभाज्य संख्याओं को जोड़ के 90 आ रहा है। 90 इवन नंबर है। सारे प्राइम नंबर्स ओड होते हैं सिवाय दो के। अगर मैं मान लो सारे प्राइम नंबर ऑड लेता हूं। जैसे मैंने ले लिया 3 + 5 + 7 सब ऑड हैं। तो क्या आएगा? 3 5 8 7 15 क्या आ जाएगा? ऑड में ऑड जोड़ूंगा इवन 3 + 5 8 और आठ में फिर से सात जोड़ूंगा तो ऑड यानी कि अगर मैं अगर ध्यान से सुनिएगा अगर मैंने तीनों प्राइम नंबर विषम ले लिए विषम तो विषम तीन संख्याओं को जोड़ के कभी भी इवन नहीं आएगा। मेरी बात समझ रहे हो आप लोग? कितना गजब का सवाल है। हैं बच्चों भाई। तीन में पांच जोड़ूंगा। ऑड में ऑड जोड़ूंगा इवन हो गया। इवन में फिर से ऑड जोड़ूंगा तो ऑड आ गया। है कि नहीं? तीन ऑड नंबर को जोड़ के ऑड ही आएगा। लेकिन आपको तीन यहां 3:14:52 पर जोड़ के क्या आना चाहिए? प्राइम नंबर को इवन। हैं? इवन कब आएगा? जब इनमें से एक संख्या इवन हो और बाकी दो संख्याएं ओड हो। मैं आपको एक बात बताना चाहता हूं कि ओड संख्या में दो से ना कटने वाली संख्या में अगर दूसरा ओड नंबर जोड़ा जाए तो वो बन जाता है इवन। ठीक है ना? जैसे कि आप तीन में पांच जोड़ो बन जाएगा आठ। दो से कटने वाला। तो ऑड प्लस ऑड इवन। और इवन में आप इवन जोड़ोगे तो क्या आएगा? ऑड प्लस ऑड इवन दो से कटने वाला। इवन भी दो से कटने वाला। जोड़ के भी क्या आएगा? दो से कटने वाला नंबर। है कि नहीं? तो यानी कि मेरी मजबूरी है कि जोड़ के 90 तभी आ सकता है जब इन तीनों में से एक प्राइम नंबर और एकमात्र प्राइम नंबर दुनिया में होता है। इवन दो। बताओ मस्त मजा आया कि नहीं आया? है कि नहीं? दो। ये दो हो गया। तो बचे जो 3:15:55 दो प्राइम नंबर हैं इनका योग कितना आएगा प्यारे बच्चों? इनका योग आना चाहिए 88 क्योंकि 2 + 88 90 सवाल में दे रखा है इन तीनों प्राइम नंबर्स में से एक संख्या दूसरी से 30 ज्यादा है। जैसे मान लो ये दो है तो अगली 30 ज्यादा करूंगा 32 तो प्राइम बनेगा ही नहीं। यानी कि इन दोनों का डिफरेंस क्या आना चाहिए? 32। भाई एक संख्या इन्हीं का अंतर होगा 32। एक संख्या दूसरी से 30 अधिक है। 30 अधिक होने का मतलब इन दोनों संख्याओं का अंतर 30 है। मैं आपसे ₹30 ज्यादा कमाता हूं। तो मेरी और आपकी इनकम का अंतर क्या है? 30 तो ये ऐसी संख्याएं जिनको जोड़ के 88 आएगा घटा के 30 आएगा। तो बताओ क्या होगी? एक अगर दो संख्याओं का सम दिया है, डिफरेंस दिया है। बड़ी संख्या कैसे आएगी? जोड़ के आधा करो। 88 + 30 118 का आधा छोटी संख्या आएगी घटा के आधा करो 88 - 30 3:16:57 58 58 का आधा 29 ये देखो तीनों प्राइम नंबर आ गए कि नहीं आ गए 2 59 और 29 इन तीनों प्राइम नंबर में ऑप्शन में कौन सी दे रखी है केवल 59 तो इस सवाल का आंसर क्या है बताओ कैसा सवाल है मजा आया ना करके हम यहां ये लॉजिक ये था मैं अभी आपको पढ़ा पढ़ाऊंगा कि ऑड प्लस ऑड क्या होता है? इवन होता है। है ना? ठीक है बच्चों? जो बच्चा ये [गला साफ़ करने की आवाज़] समझ गया उसका लिए जो है मजा आ गया। आइए आगे चलते हैं। यह बताइए प्यारे दोस्तों एक और सवाल इसी प्रकार का ये सब मॉडरेट लेवल के सवाल है। इतने आसान नहीं है। ये रेलवे एनटीपीसी 12th लेवल सीबीटी वन 2026 में आया। अभी सबसे पहले रेलवे का जो लेटेस्ट पेपर हुआ वो यही वाला हुआ है। बिल्कुल ताजा कंटेंट प्यारे दोस्तों आपके सामने प्रस्तुत कर रहे हैं। देखिए क्या गजब का सवाल है। यह रेलवे वालों ने सवाल 3:17:58 बनाया यूपीएससी से इंस्पायर हो के। मान लीजिए a और b दोनों प्राइम नंबर हैं। इस प्रकार कि a² + b भी b 20 से कम एक प्राइम नंबर है। है ना? a और b दो प्राइम नंबर हैं इस प्रकार कि a² + b भी एक प्राइम नंबर है लेकिन b से छोटा है। तो a² + b का मान b² + b भी क्या है? प्राइम नंबर है। तो प्रश्न ये है प्यारे बच्चों यहां पर b के कितने मान संभव हैं? b के कितने मान संभव हैं? ठीक है बच्चों? बताइए a और b ध्यान रखिएगा a और b दोनों ही प्राइम नंबर्स हैं। इस प्रकार के a² + b भी प्राइम नंबर आता है लेकिन 20 से छोटा। b से बड़का नहीं जाएगा प्यारे बच्चों। बताओ b के कितने मान समय? चलो ध्यान से सुनिएगा। अब आपको निकालनी है b की वैल्यू। 3:19:01 ये क्या हो रहा है? a का स्क्वायर। मुझे a का स्क्वायर ऐसे करना है कि 20 से कम ही कम में रहे। तो सबसे छोटे प्राइम नंबर से शुरुआत करते हैं। मान लीजिए जैसे मैंने a का मान ले लिया दो। दो एक प्राइम नंबर है। दो क्या है? प्राइम नंबर है भाई। तो दो का स्क्वायर क्या आएगा सचिन? चार। अब बताओ चार में कौन सा प्राइम नंबर जोड़ें कि प्राइम ही आए? चार में अगर आप तीन जोड़ेंगे प्यारे बच्चों तो आएगा सात। और सात क्या रहेगा? प्राइम। चार में दो जोड़ूंगा तो छह तो प्राइम नहीं आएगा। चार में दो जोड़ूंगा छह प्राइम नहीं आएगा। चार में जी क्या जोड़ोगे? तीन। ठीक है? a² अगर चार है तो बताओ चार में क्या जोड़ें कि प्राइम रहे? तीन के बाद अगला प्राइम नंबर है पांच। चार में पांच जोडूंगा नौ प्राइम नहीं आएगा। चार में अगर मैं सात जोडूंगा 4 7 11 आपका प्राइम बन रहा है। बन रहा है कि नहीं? मजा आया? ठीक है। चलिए a² चार है। तो अब बताओ मैं इसमें क्या जोड़ूं कि प्राइम बने? चार में क्या 3:20:01 जोड़ूं? 4 और 11 15 प्राइम नहीं बनेगा। जोड़ के भी प्राइम आना चाहिए। तो 4 13 17 4 13 17 भी जोड़ के प्राइम आ रहा है। बहुत बढ़िया। 13 के अलावा अगर मैं चार अगला प्राइम नंबर क्या है? 17. [गला साफ़ करने की आवाज़] 4 + 17 तो 21 हो गया। 20 से बढ़कर चला जाएगा। यानी कि प्यारे बच्चों यहां पे तीन ही वैल्यू मिली है। समझ पा रहे हैं आप? B की कितनी वैल्यू आ गई? अगर मैं A का मान दो ले रहा हूं। दो सबसे छोटा तो B की वैल्यू आ गई है तीन। लेकिन और भी तो पॉसिबिलिटी है। मान लो अगर मैं A का मान यहां पे लेता हूं तीन। A का मान लेता हूं तीन। तो तीन का वर्ग क्या आएगा? नौ। तो नौ में क्या जोड़ें कि प्राइम नंबर बन जाए? 9 + 2 नौ। भाई B क्या है? B भी प्राइम नंबर है। प्राइम नंबर होता है दो। तो 9 + 2 11 प्राइम नंबर बनेगा। 9 + 3 3:21:02 12 नहीं बनेगा। हैं 9 5 14 नहीं बनेगा। क्योंकि दो ऑड में ऑड जोड़ के इवन प्राइम नहीं बनेगा। 9 7 16 नहीं बनेगा। 9 11 20 खत्म। समझे ना बच्चों? चलिए और भी हो सकता है। अगर मैं a का मान मान लीजिए क्या लेता हूं? पांच। तो 5 का वर्ग ये 25 से बड़ा ही हो गया। यानी कि संभव ही नहीं है। तो मैं यहीं तक ही ले सकता था। और इस हिसाब से मेरी b की वैल्यू कितनी बन रही है? बताओ B की वैल्यू कितनी बन रही है? 3, 7, 13 और 2 यानी कि चार वैल्यू B की बननी है। आपसे यह भी पूछ सकता था B की कौन-कौन सी वैल्यू संभव है? बताओ गजब सवाल है कि नहीं? हैं? कांसेप्ट है। है कि नहीं? क्या है? कांसेप्ट हैं। कांसेप्ट है कांसेप्ट। चलिए आगे चलते हैं। अगला 3:22:03 सवाल ये सब मॉडरेट लेवल के सवाल हैं। प्राइम नंबर पर देखिए सीजीएल 2020 के टिएर टू मेंस के पेपर में सवाल आया था। तो कौन सा सवाल है जी ये? मेंस वाला सर। इट इज टफ। यस। इट इज़ टफ। तो टफ नहीं करोगे क्या? एग्जामिनर में जब सवाल आएगा तो एग्जामिनर कहेंगे चल बे एग्जामिनर ईजी ईजी दे। एग्जामिनर भी कहेगा तनख्वाह भी जीरो जीरो ले। 3:22:40 अरे बालको मजा आ रहा है? नींद तो नहीं आ रही तुम्हें? नींद आ रही है? बेटा नींद नहीं आनी चाहिए। हम पानी के इंजेक्शन भर लो और जैसे आए तुरंत एक ठोक दिया। ठीक है? चलिए अरे लाइव चल रहा है ना? कितना बच्चा है? हैं थोड़ी देर में सो जाएगा। ये बालक है। अब कल पढ़ेंगे। [हंसी] चार घंटे नहीं कम से कम छ सात घंटे चलेगा भाई। मान लीजिए ab मान लीजिए ab दो अंकों की प्राइम नंबर है। मान लीजिए ab दो अंकों का एक प्राइम नंबर है। जहां a इज नॉट इक्वल टू b a और b यानी कि दोनों डिजिट अलग-अलग हैं। इस प्रकार कि ba भी एक प्राइम नंबर है। यानी कि ab के अंकों को पलटने से आएगा ba वो भी क्या है? प्राइम 3:23:42 नंबर तो ऐसी सभी संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए। तो सोचना पड़ेगा ऐसी कौन सी प्राइम नंबर हैं दो अंकों के जिनको रिवर्स करके भी जिनके डिजिट को पलट के भी क्या है? प्राइम नंबर। तो जैसे ab 1 अंकों का सबसे छोटा प्राइम नंबर है 11। लेकिन 11 नहीं ले सकते क्योंकि a और b अलग-अलग होगा। तो फिर हम क्या लेंगे? 13 क्या लेंगे? 13। तो 13 के अंकों को पलट के क्या आएगा? 31 प्राइम नंबर आया है कि नहीं? आया है। तो हमें एक-ए देखना पड़ेगा प्यारे बच्चों। दिमाग में होना चाहिए। इसलिए एक से 100 तक प्राइम नंबर बहुत जरूरी हैं। 13 के बाद अगला प्राइम नंबर है दो अंकों का। 17 के अंकों को पलट के आएगा 7 17 के बाद है 19। तो 19 के अंकों को पलट के आएगा 91। 91 प्राइम नंबर नहीं बना बच्चों। क्योंकि 91 13 से भी कट जाएगा और सात से भी। ठीक है बच्चे? आप बोलोगे हां जी सर। चलिए। इसके बाद आएगा 19 के बाद प्राइम नंबर 23। 23 के अंकों को पलटने से 3:24:45 बनेगा 32। क्या बनेगा? एक्चुअली ये आपको लेना ही नहीं था कि 23 में स्टार्टिंग में क्या है? और एंड में पलटोगे तो आखिर में दो चला जाएगा। यानी कि ये नंबर क्या बन जाएगा? इवन बन जाएगा। प्राइम नहीं रहेगा। कोई भी नंबर अगर दो से शुरू हो रहा है। पलटने से दो एंड में चला जाएगा। दो एंड में जाने का मतलब वो नंबर क्या हो जाएगा? इवन। तो वो कभी प्राइम नंबर बनेगा ही नहीं। है कि नहीं बच्चे? तो 23 वाली तो आप लड़ी लोगे ही नहीं। तो क्या आ गए आप सीधा? 31 पे। 31 का उल्टा 13 ऑलरेडी ले चुके हैं। 31 के बाद आएगा आपका 37। 37 का उल्टा 73। ये भी प्राइम नंबर है। उसके बाद 41 41 का पलट के आ जाएगा 14। ये लड़ी आपको लेनी नहीं क्योंकि ये चार स्टार्टिंग में कहां चला जाएगा? एंड में। ये प्राइम बनेगा ही नहीं। तो सीधा किस पे कूदो? पांच पे। पांच पे क्या है? प्राइम 3:25:47 नंबर 59। 59 का उल्टा 95 जो प्राइम बनेगा ही नहीं। ना उसके बाद छह वाली लड़ी नहीं लेंगे। क्या लेंगे? सात। सात का 71 71 और 17 71 का उल्टा 17 दोनों प्राइम ऑलरेडी ले चुके हैं। फिर क्या आएगा? 73 भी हम ले चुके हैं। 79 79 का उल्टा 97 चलो ये भी प्राइम बनता है। ये भी प्राइम है। आठ वाली लड़ी लेंगे ही नहीं क्योंकि पलट के एंड में आठ चला जाएगा। नौ का तो हम ले ही चुके 97 यानी कि यही है। नहीं प्यारे बच्चों। तो यही वो सब प्राइम नंबर्स हैं प्यारे मेरे भाई जो दो अंकों के प्राइम नंबर जिनको पलट के भी क्या आ रहा है प्राइम आ रहा है जिनके अंकों को पलटने से भी और आपको क्या निकालना है इनका योग दिमाग लगाया ना वानखड़े जी समझ गए होंगे ये बताओ इनके अंकों को जोड़ के क्या आएगा जल्दी से जोड़ के बता दीजिए ठीक है जोड़ने की ज़्यादा मेहनत करने की जरूरत ही नहीं 3:26:48 सबका यूनिट डिजिट क्या है अलग-अलग केवल क्या मैच कर लो यूनिट डिजिट तीन और 1 4 7 11 1 + 1 2 + 7 9 3 2 और 9 11 1 और 1 + 7 8 तो एंड में आठ आना चाहिए यानी कि 400 यही आ रहा है क्या 418 सबका हम 418 ठीक है भैया मस्त चीजें रही आगे चलते हैं आखरी आखरी सवाल इस टाइप का प्यारे बच्चों फिर मैं आपके सामने अगला टाइप प्रस्तुत करूंगा। टाइप है आपके सामने सिलेक्शन फेस 2025 का पूछा हुआ सवाल बताइए प्यारे भाई। कॉलम फर्स्ट में दिए गए सेट को कॉलम सेकंड में दिए गए उनके सही विवरण से मिलान करें। ठीक है बच्चे? कॉलम फर्स्ट का माल को कॉलम सेकंड से मैच करना है जो मैच होता हो। ठीक है बच्चों? आइए एक-एक देखते हैं। पहला है 3:27:52 रैशन नंबर। रैशन नंबर। रैशन नंबर यानी कि रैशन नंबर यानी कि ऑल टर्मिनेटिंग एंड रिपीटिंग डेसिमल। जो परिमेय संख्या है वो टर्मिनेटिंग डेसिमल होंगी या रिकरिंग डेसिमल होंगी प्यारे बच्चों। ठीक है ना? तो आप बताओ यानी कि a मिलान होना चाहिए दो से। यानी कि a चार या तीन से मिलान नहीं होगा। दो ऑप्शन कट गए। यही टेक्निक सबसे बढ़िया है। होल नंबर्स। होल नंबर्स यानी कि जीरो और नेचुरल नंबर। तो होल नंबर्स मतलब इंक्लूड जीरो एंड नेचुरल नंबर। ऑप्शन बी मिलान होगा किससे? तीन से। बी मिलान होगा थर्ड से। चार से मिलान नहीं होगा। तो आंसर क्या आ गया? अच्छा। [गला साफ़ करने की आवाज़] प्राइम नंबर्स क्या होते हैं? अच्छा यह सामने दिख रहा है इररेशनल नंबर। इररेशनल नंबर क्या होता है? नॉन टर्मिनेटिंग नॉन रिपीटिंग। नॉन रिपीटिंग नॉन टर्मिनेटिंग डेसिमल। यानी कि डी का मिलान किससे होगा? चार से। तो यानी कि सी 3:28:56 बचा प्राइम नंबर। तो प्राइम नंबर का मिलान किससे होना चाहिए? नॉट क्लोज्ड अंडर मल्टीप्लिकेशन एंड सबट्रक्शन। क्या आपने आज तक कभी यह बात सुनी है? गोविंद जी तुमने सुनी है कभी? प्राइम नंबर्स को कह रहा है। आपने तो पढ़ा कि सर आपने बताया प्राइम नंबर जो वन से कटे और खुद से कटे। यह तो हमें ही काट रहा है। ये प्राइम नंबर की परिभाषा कह रहा है नॉट क्लोज्ड अंडर मल्टीप्लिकेशन एंड सबट्रैक्शन। क्लोज्ड का मतलब क्या है? व्हाट इज क्ल? नॉट क्लोज्ड अंडर अंडर मल्टीप्लिकेशन एंड सबट्रैक्शन। बताइए प्राइम यह कांसेप्ट है। मान लीजिए एग्जाम का मन करा रहा कि इसी चीज को उठा के अलग से सवाल बना देता हूं। बन जाएगा कि नहीं? प्राइम नंबर्स माने नॉट क्लोज्ड अंडर मल्टीप्लिकेशन एंड सबट्रैक्शन। कैसे? नॉट क्लोज्ड का मतलब यह है कि प्राइम नंबर दो 3:29:56 प्राइम नंबर्स की गुणा करने पर भी प्राइम नंबर आना चाहिए और दो प्राइम नंबर की घटाने पर भी प्राइम नंबर आना चाहिए। तो ये क्या हो जाएगा? क्लोज। क्लोज का मतलब है कि वो ऑपरेशन करने पर भी सेम ही टाइप का नंबर आ रहा है। जैसे दो प्राइम नंबर है। दो प्राइम नंबर की गुणा करके भी प्राइम ही आ रहा हो। दो प्राइम नंबर को घटा के भी प्राइम ही आ रहा हो। तो हो गया क्लोज। फैमिली एक रही। फैमिली क्या रही? एक। लेकिन अगर फैमिली बाहर चली गई तो हो गया नॉट क्लोज। तो प्राइम नंबर ना तो मल्टीप्लिकेशन में क्लोज होते हैं ना ही सबट्रैक्शन में। जैसे प्राइम नंबर मैंने मान लिया एक दो। दो प्राइम नंबर है और सात एक प्राइम नंबर है। तो मैं इनकी गुणा कर देता हूं। तो गुणा करने पर क्या आएगा? 14 और जो कि प्राइम नंबर नहीं है। तो क्लोज नहीं रहा ना? गुणा करने पर फैमिली प्राइम से बाहर निकल गई। है ना? ऐसी आप नॉट क्लोज ये अंडर सब्ट्रैक्शन में भी क्लोज नहीं होगा। सब्ट्रैक्शन में 3:30:57 क्लोज नहीं होगा। कैसे एक ले लेते हैं? जैसे मैंने ले लिया पांच और एक प्राइम नंबर ले लिया मैंने दोस्तों यहां पे 11। पांच और 11 का डिफरेंस क्या आएगा? छह। छह भी कोई प्राइम नंबर नहीं है। क्योंकि छह दो से कट गया, तीन से कट गया। तो प्राइम नंबर ना मल्टीप्लिकेशन में क्लोज हो रहे हैं ना सबट्रैक्शन में। क्लोज होने का मतलब कि वो ऑपरेशन करने पर सेम ही फैमिली आ जाए। यहां ऐसा नहीं हो रहा। देखो कितनी गहरी बात है। हैं? अब मैं जल्दी से बता के निकल जाता तो तुम ये कभी सीखते। हां। आइए आगे चलते हैं। इसी के साथ यह होता है टाइप खत्म। अब हम आगे चलेंगे अगला टाइप। अगला टाइप। दो कांसेप्ट या दो परिभाषा आपको समझनी है। पहला है ट्विन प्राइम नंबर्स। ट्विन प्राइम नंबर्स। क्या है? ट्विन प्राइम नंबर्स। हिंदी में कहते हैं युग्म अभाज्य संख्याएं या जुड़वा अभाज्य संख्याएं भी कहते हैं जुड़वा। है ना? तो ट्विन प्राइम नंबर्स क्या होता है? 3:31:59 ट्विन प्राइम नंबर्स माने ऐसे दो प्राइम नंबर्स, ऐसे दो प्राइम नंबर्स जिनका डिफरेंस दो हो। ऐसे दो प्राइम नंबर्स है ना ऐसे दो प्राइम नंबर जिनका अंतर दो हो वो क्या कहलाते हैं? ट्विन प्राइम कहलाते हैं। प्राइम ही होना चाहिए। ऐसे दो प्राइम नंबर जिनका डिफरेंस दो हो क्या कहलाते हैं? ट्विन प्राइम कहलाते हैं। जैसे तीन और पांच दोनों प्राइम नंबर है। तीन और पांच का अंतर दो है। 11 13 दोनों प्राइम नंबर है। डिफरेंस 11 13 का दो है। ट्विन प्राइम है। 29 31 दोनों प्राइम नंबर है। डिफरेंस दो है। 59 और 61 दोनों प्राइम नंबर है। डिफरेंस दो है। ट्विन प्राइम है। 17 19 दोनों ही आपस में प्राइम है। और इनका डिफरेंस दो है। ट्विन प्राइम है। समझे ना प्यारे बच्चों? अब मैं आपके सामने लिखता हूं प्यारे भाई यहां पे मैंने लिख दिया 31 और 37। क्या ये ट्विन प्राइम है? 31 37 दोनों प्राइम नंबर है। लेकिन इनका 3:33:01 डिफरेंस दो नहीं है। छह है। तो ये ट्विन प्राइम नहीं है। समझे ना? मैंने आपके सामने लिख दिया प्यारे बच्चों अ 43 और 45 क्या ये ट्विन प्राइम है? 43 45 का डिफरेंस दो है। लेकिन दोनों प्राइम भी होने चाहिए। 45 प्राइम नहीं होता है। पांच से भी कट गया, नौ से भी। इसलिए ट्विन प्राइम तो ऐसे कोई भी दो प्राइम नंबर जिनका अंतर दो होता है, वह एक दूसरे से ट्विन प्राइम होते हैं। ठीक है ना? अब तुमको तो मजाक लग रहा होगा ये पर सवाल करोगे तब ना बात बनेगी हैं बच्चे बताइए जरा सवाल आया रेलवे एनटीपीसी ग्रेजुएट लेवल सीबीटी वन 2025 में ताजा द सम ऑफ फर्स्ट पेयर ऑफ टू डिजिट ट्विन प्राइम नंबर दो अंकों का दो अंकों के जो ट्विन प्राइम नंबर्स हैं उसका फर्स्ट पेयर पहला जो 3:34:02 जोड़ा बनता है उनका उनका योग क्या है? टू डिजिट ट्विन प्राइम नंबर जो बनते हैं उनके फर्स्ट पेयर का सम क्या है? तो दो अंकों के प्राइम नंबर बनते हैं। सबसे पहला 11 और उसके बाद अगला तो 11 और 13 दोनों ही प्यारे बच्चों प्राइम नंबर्स हैं। और दोनों का डिफरेंस क्या है? तो यही हो गया ट्विन प्राइम। 11 13 के बाद वैसे 17 19 भी हो जाएगा प्यारे बच्चों ट्विन प्राइम। लेकिन फर्स्ट पेयर तो 11 13 ही रहेगा ना? तो 11 13 और इनका योग क्या आएगा? 24 क्या आंसर है? डी। क्या कह रहा है वो? [हंसी] चलिए आगे चलते हैं। एक बच्चा कह रहा है क्या इस बैच से इन क्लासेस से एसबीआई पीओ हो जाएगा? जिस दिन आपने यह सवाल पूछा 3:35:03 क्या यह करने से हो जाएगा? उस दिन ही आपका होना जो होना था वो बंद हो गया। [हंसी] जैसे ही आपने कमेंट टाइप करा वैसे ही चांस आपके खत्म हो गए। ठीक है? क्योंकि जिसका कुछ होना होता है, वह ऐसे कमेंट करता ही नहीं है। पहली तो शर्त यह है कि आदमी कमेंट करने वाला ही नहीं होना चाहिए। [हंसी] यह तो लाइव कमेंट कर रहा है भाई। आंसर के अलावा सवालों क्या आंसर के अलावा? अब वो नंबर मांग रहा है। रिया का नंबर मांग रहा है। तो बताओ कोई फायदा है? रिया तैयार है उसके पीस करने को। ड्रम हैं। काला ड्रम लेके आई है। नीला भी नहीं लिया तुम्हारे लिए। बताओ। पहाड़ों से धकेलते हैं वो। नहीं यह इनके साथ अलग हुआ। इनको पोइजन पिला के वो तड़पते हुए देखेगी। [हंसी] 3:36:06 चलिए कौन सी जोड़ी जुड़वा अभाज्य संख्याओं की जोड़ी नहीं है? चार जोड़ी दी है। कौन सा पेयर ट्विन प्राइम का नहीं है? 71 73 दोनों प्राइम नंबर है। डिफरेंस है दो प्राइम है। 131 और 100 33 ये ट्विन प्राइम नहीं है। ट्विन प्राइम वो नंबर्स होते हैं ऐसे दो प्राइम नंबर जिनका डिफरेंस दो हो। 131 और 133 को मैं देखते ही समझ गया। 19 * 7 = 133 जब प्राइम नंबर्स ही नहीं है तो यह ट्विन प्राइम कैसे बन जाएगा यह? इसलिए बात गलत हो गई। ठीक है ना? चलिए आगे चलते हैं। बताएंगे। यह आया है ग्रुप डी के पेपर में सवाल। द सम ऑफ ट्विन नंबर इज 36। ट्विन प्राइम नंबर्स का सम 36 है। फाइंड द प्रोडक्ट ऑफ दी ट्विन प्राइम नंबर्स। तो इन ट्विन प्राइम नंबर्स का गुणनफल बताओ। 3:37:08 तो ट्विन प्राइम नंबर का दो ट्विन प्राइम नंबर उनका सम 36 है। और मैं जानता हूं कि अगर ये ट्विन प्राइम नंबर हैं तो इनका डिफरेंस क्या आएगा? दो आएगा। तो बताओ प्राइम नंबर क्या होंगे? बड़ी संख्या दो संख्याओं का सम और डिफरेंस दिया है। बड़ी संख्या जोड़ के आधा करो। 36 + 2 38 का आधा 19 और एक क्या आएगी? 19 और 17 होंगे कि नहीं? और आपसे क्या पूछा है? 19 और 17 का गुणनफल। यह आएगा आंसर। तो 19 * 17 क्या आएगा? 340 से 17 कम 300 323 आंसर है। है ना बच्चे? बढ़िया सवाल है। चलिए आगे चलते हैं। आगे आपके सामने आएगा प्यारे बच्चों यहां पर को प्राइम नंबर्स। हिंदी में कहते हैं सह अभाज्य संख्याएं। सह अभाज्य संख्याएं। ट्विन प्राइम नंबर्स समझ गए? अगला है आपके सामने को प्राइम नंबर्स या हिंदी में सह अभाज्य संख्याएं। जिस एग्जामिनर की हिंदी 3:38:08 वीक है वो कभी-कभी लिख देता है ए सह अभाज्य संख्या ए पहले लगा देता है वो। समझे ना बच्चों? चलिए को प्राइम नंबर्स क्या होते हैं? को प्राइम नंबर्स बहुत सारे बच्चों को लगेगा कि कोप्राइम प्राइम आ रहा है तो प्राइम नंबर की बात हो रही है। ऐसा नहीं है। कोप्राइम नंबर्स मतलब ऐसे कोई भी दो नेचुरल नंबर चाहे प्राइम हो या ना हो। ऐसे कोई भी दो नेचुरल नंबर जिनमें कुछ भी कॉमन ना हो। वन के अलावा हो। क्योंकि वन तो सबका बालक है। ऐसे दो नेचुरल नंबर जिनका कॉमन बालक केवल वन हो। वन के अलावा और किसी भी संख्या से एक साथ डिवाइड ना होती हो। क्या कहलाती हैं? कोप्राइम। कोप्राइम संख्याएं ऐसी दो प्राकृतिक संख्या जिनमें एक के अलावा कुछ भी कॉमन ना हो। यानी कि उनका हाईएस्ट कॉमन फैक्टर वन होना चाहिए। जैसे कि आपके सामने 15 और 23 3:39:12 15 कोई प्राइम नंबर नहीं है। मैं बात करूं कोई भी नेचुरल नंबर जिनमें एक के अलावा कुछ भी कॉमन ना दिखता हो जिनका एचसीएफ वन हो। तो 15 और 23 केवल वन ही ऐसा नंबर है जो एक साथ 15 को भी डिवाइड कर रहा है और 23 को भी। तो 15 और 23 क्या है आपस में? नौ और 14 में भी वन के अलावा कुछ कॉमन नहीं दिख रहा। क्योंकि वन तो नौ को भी काट रहा है 14 को भी। वन के अलावा कोई नंबर दिख रहा है जो नौ और 14 दोनों को डिवाइड कर रहा हो एक साथ। नहीं ना? तो 9 14 कोप्राइम है। 25 48 में भी कुछ कॉमन नहीं है। कोप्राइम है। 7 13 11 16 में भी कुछ कॉमन नहीं है। कोप्राइम है। 9 26 में भी कुछ कॉमन नहीं है। क्या है? कोप्राइम है। आपके सामने लिख दिया एक और एक और 10 क्या है आपस में? कोप्राइम। एक 10 में कुछ भी कॉमन नहीं है। समझे ना प्यारे बच्चों? 16 और 28 16 और 28 दोनों चार से कट रहे हैं। 4 16 4 * 7 = 28 यह कोप्राइम नहीं है। 35 और 77 क्या ये आपस में कोप्राइम सह 3:40:14 अभाज्य हैं? 35 और 77 दोनों ही सात से कट रहे हैं। 7 * 5 = 35 77 11 बार ये कोप्राइम नहीं है। समझे ना बच्चों? तो ऐसे कोई भी दो संख्याएं कोई भी दो नेचुरल नंबर जिनमें वन के अलावा कुछ भी कॉमन ना हो। तो वन के अलावा सब कुछ भी कॉमन ना दिखे जिनका एचसीएफ ही वन हो क्या कहलाते हैं? कोप्राइम कहलाते हैं। सह अभाज्य कहलाते हैं। समझ में आया? इतनी सी बात अगर आपको समझ में आ गई है तो जब मैं ट्विन प्राइम नंबर के बारे में बात कर रहा हूं तो मैं कह रहा हूं कि दोनों प्राइम होने चाहिए। कोप्राइम मतलब कोई भी नंबर चलेंगे नेचुरल लेकिन उनमें वन के अलावा कुछ कॉमन ना दिखे। चलिए आइए अब इस पे सवाल करेंगे। बताओ ग्रुप डी का लेटेस्ट है। कौन सा को प्राइम नंबर्स का पेयर है? कौन सा जोड़ा ऐसा है जो कोप्राइम संख्याओं का जोड़ा है? हैं बच्चे बताइए कौन सा जोड़ा कोप्राइम का है? 99 और 312 दोनों तीन से कट रहे हैं। 33 3:41:16 बार और यह 3 * 1 = 3 3 * 4 = 12 दोनों में तीन कॉमन आ गया। 685 तो 17 का पहाड़ा है। 17 * 4 68 17 * 5 143 और 169 143 169 है 13 का वर्ग 143 भी 13 से कट रहा है। ये दोनों ही नंबर किससे कट जा रहे हैं। तो दोनों में 13 कॉमन है इसलिए कोप्राइम। तो क्या बचा फिर? 52 105 में कुछ कॉमन नहीं दिखेगा। 52 105 में कुछ भी कॉमन नहीं है। तो आंसर क्या हुआ? डी नंबर इसका आंसर हुआ। ठीक है बच्चों? आइए अगला यह बताओ सवाल है आपके सामने अगला ठीक है भाई 3:43:15 यदि a और b दो को प्राइम नंबर इस प्रकार हैं कि a + b = 41 a और b दो को प्राइम नंबर हैं कि उनको जोड़कर क्या आ जाता 41 तो पूछा है a * b का अधिकतम संभव मान a * b की मैक्सिमम वैल्यू बताओ। है ना? a और b की मैक्सिमम वैल्यू क्या होगी? a * b की? आप बताओ। दो संख्याएं हैं a और b इनकी गुणा क्या होनी चाहिए? बड़ी से बड़ी। बड़ी से बड़ी गुणा कब आएगी? संख्याएं जितनी नजदीक होंगी बड़ी नजदीक आ गई बिल्कुल। तो गुणा बढ़ के निकलेगी। संख्याओं को दूर-दूर पटक दो तो गुणा भी छोटी हो जाएगी। है कि नहीं? तो यानी कि यहां पर a + b 41 है। तो 41 का ऐसा देखो कि कोप्राइम रहे लेकिन बिल्कुल पासपास बिल्कुल पासपास। 41 के करीब अगर मान लो जैसे 40 होता तो आधा कर देते 20 20 क्या कर देते? 40 होता तो कर देते 20 3:44:16 लेकिन 41 है तो क्या कर सकते? 20 21 20 और 21 दोनों क्या है आपस में? कोप्राइम है और 202 सबसे करीब भी हैं। है कि नहीं? तो 20 और 21 की गुणा ही मैक्सिमम आएगी प्यारे बच्चों 20 * 21 यानी कि 400 20 तो क्या आंसर है? सी है ना? बहुत आसान सवाल था कि नहीं? चलिए आइए अगला सवाल लेते हैं। कौन सा बनेगा? यह टू क्सक्यूटिव नेचुरल नंबर आर ऑलवेज दो लगातार प्राकृतिक संख्याएं हमेशा क्या होते हैं? दो लगातार प्राकृतिक संख्याएं। आप देखना कोई भी दो लगातार प्राकृतिक संख्याएं लिखो। जैसे मान लीजिए पांच तो पांच के आगे छह। इनमें कुछ भी कॉमन नहीं दिखेगा। क्या होंगी आपस में? कोप्राइम। कुछ भी पकड़ लीजिए। आपने पकड़ लिया प्यारे बच्चों 18। 18 के आगे 19 181 19 में कुछ भी कॉमन नहीं है हमेशा क्या 3:45:18 होंगी कोप्राइम है ना कोई भी उठा लिया आपने ले लिया 40 40 के आगे है 41 40 41 में कुछ भी कॉमन नहीं है आपस में क्या है कोप्राइम तो दो लगातार प्राकृतिक संख्याएं हमेशा कोप्राइम या सह अभाज्य होती हैं। ठीक है ना? दो लगातार प्राकृतिक संख्याएं। एक फैक्टर बताता हूं। दो लगातार प्राकृतिक संख्याओं में हमेशा एक ओड होगा, एक इवन होगा। जैसे पांच ऑड है। पांच का अगला छ इवन। 18 इवन नंबर दो से कटने वाला। अगला 19 ऑड। 40 इवन नंबर दो से कटने वाला। 41 दो से नहीं कटेगा। ऑड। तो दो लगातार प्राकृतिक संख्याओं में हमेशा एक ऑड होगा और हमेशा एक इवन होगा। ऐसे ही चलेगा। और ये आपस में क्या होंगे? कोप्राइम। सह अभाज्य। समझे बच्चों? बताइए। जी। सिलेक्शन फेस 13 2025 के पेपर का सवाल है। कौन करेगा प्यारे बच्चों? बताओ करके। 3:46:32 यह सवाल जो है एसएससी ने सीखा है यूपीएससी से बनाना। नीचे दो कथन दिए गए हैं। स्टेटमेंट गिवन बिलो आर टू स्टेटमेंट। दो स्टेटमेंट है मार्क्ड एज असरशन ए एंड रीजन आर। रीड द मार्क एंड करेक्ट ऑप्शन। दो कथन दिए हैं। है बच्चों। एक है असरशन और एक है उसका कारण। एक अभिव्यक्ति है कि भाई हम एक फैक्ट कह रहे हैं और एक उस फैक्ट का कारण बताया गया है। ए और रीजन आर। तो आपको बताना है प्यारे बच्चों क्या ये सही है कि गलत है? ठीक है। पहले कथन पढ़ते हैं। कथन क्या है? द प्रोडक्ट ऑफ एनी टू क्सक्यूटिव नेचुरल नंबर इज ऑलवेज इवन। दो लगातार प्राकृतिक संख्याओं की गुणा हमेशा इवन होती है। यह बात एकदम सही है। दो लगातार प्राकृतिक संख्याओं में हमेशा एक ऑड होगा। एक इवन होगा। कोई भी दो लगातार लिख लो। 10 अगला 11 इवन ऑड हो गया। 12 अगला 13 इवन ऑड हो 3:47:34 गया। तो भैया दो लगातार प्राकृतिक संख्याओं की गुणा करेंगे। एक ऑड एक इवन की गुणा करेंगे तो हमेशा क्या आएगा? इवन। करो ना। दो लगातार प्राकृतिक संख्याओं की गुणा हमेशा इवन होगी। 5 * 6 = 30 18 * 19 भी इवन आएगा। 40 * 41 भी क्या आएगा? इवन ही आएगा प्यारे बच्चों। तो का ये जो है कथन एकदम सही है। कारण क्या बताया है? इफ n इज एनी नेचुरल नंबर। अगर n कोई नेचुरल नंबर है तो आइदर n और n + 1 मस्ट बी डिविजिबल बाय टू इंश्योरिंग द प्रोडक्ट इज़ इवन। सही है? अगर n कोई नेचुरल नंबर है तो या तो n या उससे अगला n + 1 हमेशा दो से डिविजिबल होगा। बिल्कुल सही बात है। है ना? इसी कारण से इनका प्रोडक्ट भी इवन आएगा। तो यानी कि कथन भी सही है और उसका कारण भी और कारण जो है दिए गए कथन को बिल्कुल वेरीफाई कर रहा है एक्यूरेटली। तो यानी कि आंसर क्या होना चाहिए? ए और आर एक्यूरेट है और आर जो है ए को जस्टिफाई कर रहा है। 3:48:38 है कि नहीं मस्त सवाल? चलिए आगे चलते हैं। ये बताइए प्यारे बच्चों। व्हिच ऑफ द फॉलोइंग नंबर इज नॉट कंपोजिट? कौन सा नंबर कंपोजिट नहीं है? कौन सा नंबर कंपोजिट नहीं है? कंपोजिट नहीं है। इसका मतलब प्राइम है। कौन सा नंबर प्राइम है? 221 221 कंपोजिट है। 13 * 17 161 भी कंपोजिट है। 23 * 7 209 भी 11 * 19 109 कंपोजिट नहीं है। 109 क्या है? प्राइम। क्योंकि 109 का कोई बालक नहीं होता। 109 का मतलब केवल 1 * 109 है। किसी से नहीं कटता। आप देखो किसी पहाड़े में 109 आता हो तो। है बच्चों? तो 109 क्या है? कंपोजिट नहीं है। यानी कि एक प्राइम नंबर है। आइए प्यारे बच्चों बताएंगे। सीजीएल मेंस 2021 के पेपर का सवाल आपके सामने मुझे बताओ कौन करेगा जरा? 3:49:42 53 से 97 तक कितने कंपोजिट नंबर हैं? 53 से 97 तक पहले आप सारी संख्या लिख लो और फिर उनको गिन लेना और गिन के बताओ कितने कंपोजिट नंबर है? प्राइम नहीं पूछे क्या पूछे? 53 से 97 तक कितने कंपोजिट नंबर्स हैं? बेहतरीन सवाल आपके सामने। तो अगर आप गिनने लगे जैसे 54 है, कंपोजिट 55 है, 56 है तो बहुत टाइम लगेगा। तो पहले बताओ 53 से 97 तक टोटल कितने नंबर होते हैं? 53 से अगर 97 तक लिखा जाए 53 54 55 56 57 हैं। उसके 53 से 97 तक ये टोटल कितने नंबर हैं? 53 54 55 56 97 तक 3:50:43 कितने हैं? तो बहुत से बच्चे कहेंगे 97 में से सर 53 घटा लो क्या आएगा? 44 44 नहीं आएगा। कितना आएगा? 45 नंबर्स होंगे। कितने नंबर्स होंगे? क्यों? जैसे आपके सामने लिखा है 5 6 7 8 ये चार लगातार संख्याएं हैं। कितनी संख्याएं? तो लास्ट वाली में से पहली वाली घटाओगे क्या आएगा? तीन। लेकिन संख्याएं तो चार हैं। संख्याएं एक ज़्यादा हैं। जब आप लास्ट वाली में से पहली वाली घटाते हो, तो इनके बीच में गैप तीन आते हैं। ये गैप गैप तीन आते हैं। लेकिन संख्याएं तो एक ज्यादा आएंगी ना। चार समझे ना? तो 97 में से आप 53 घटाओ आएगा। 44 और एक ज्यादा यानी कि टोटल 45 नंबर हैं। तो, 53 से 97 तक टोटल नंबर है 45। इन 45 नंबर्स में से प्राइम वाले कितने? को कि प्राइम गिनना आसान है। सड़े हुए गिनने आसान है। कितने हैं? मैंने 3:51:43 पढ़ा है कि एक से ले 50 तक होते हैं 15 प्राइम नंबर और 50 से 100 के बीच में होते हैं 10 प्राइम नंबर। 50 से 100 के बीच में प्राइम नंबर क्या आएगा? 51 52 तो होगा नहीं। 53 से ही स्टार्ट होगा। 53 59 61 और आखिर में कहां तक जाएगा? 97 तक। तो यही वो 53 से लेके 97 तक वाले प्राइम नंबर दे रखे हैं कि नहीं? यानी कि कितने ये 10 प्राइम नंबर हैं। तो टोटल 45 में से 10 घटाएंगे क्या आएगा? कुल संख्याएं 45 उसमें से 10 निकली हैं प्राइम। तो बची कुची 35 संख्याएं जो होंगी वो कैसी होंगी? कंपोजिट। समझ में आया ना? कोई तकलीफ? हम सही है? बढ़िया सवाल है? चलें आगे। चलिए इसी के साथ ये होता है खत्म। आपके सामने आएगा। अब अगला छोटा सा कांसेप्ट परफेक्ट स्क्वायर या पूर्ण वर्ग। परफेक्ट स्क्वायर नंबर जानते हैं। कोई भी संख्या 3:52:45 जिसको n² फॉर्मेट में किसी संख्या की पावर दो करके लिखा जा सके वो क्या कहलाता है? परफेक्ट स्क्वायर या पूर्ण वर्ग कहलाती हैं। जैसे कि 25 25 एक परफेक्ट स्क्वायर है। 25 को क्या लिख सकते हो? पांच का वर्ग। 49 परफेक्ट स्क्वायर है। क्या लिख सकते हो? सात का वर्ग। अब मैं आपके सामने लिख दूं 112 क्या यह परफेक्ट स्क्वायर है? क्योंकि 112 परफेक्ट स्क्वायर नहीं है। किसी संख्या का वर्ग नहीं लिख सकते। है ना? तो अगर कोई संख्या किसी का स्क्वायर करके लिखी जा सकती है तो उसे पूर्ण वर्ग कहा जाता है। मामूली बात है ना? लेकिन इस पर मैं दो सवाल कराऊंगा आपको ऐसे कि आपके दिमाग की नशे खुल जाएंगे करने में। वानखेड़े जी। हैं? मुझे जरा बताइए प्यारे बच्चों। यह टाइप है और इस टाइप पर मैं आपको दो क्वेश्चन कराऊंगा। आइए सवाल है आपके सामने प्यारे दोस्तों यहां पर यह सॉरी रेल ये सवाल आया है प्यारे बच्चों 3:53:47 सीएचएसएल 2023 में डाटा अलग था डाटा अलग था पर कांसेप्ट सेम ही था और ग्रुप डी में 891 का स्क्वायर और 892 का स्क्वायर इनके बीच में कितने पूर्णांक है। यानी कि इनके बीच में कितनी संख्याएं आती हैं? यह पूछा है। इनके बीच में कितनी संख्याएं आती है? 891 का वर्ग और 892 का वर्ग बता दो जरा। 891 के स्क्वायर और 892 के स्क्वायर के बीच में कितने बीच में कितनी संख्याएं आते हैं? कितने पूर्णांक आते हैं? सही है? अब जैसे ध्यान से सुनना। मैं आपके सामने नंबर लिख देता हूं। 5 6 7 8 9 तो मुझे बताओ यहां पांच और नौ के बीच में कितनी संख्या आ रही है? पांच और नौ के बीच में कितनी संख्या आ रही हैं? तीन आ रही है पांच और 3:54:48 नौ के बीच में। कैसे आया है? बीच में पूछा है बीच में। लास्ट वाली है नौ और पहली वाली है पांच। लास्ट में से आप पहली वाली घटाओगे तो क्या आ रहा है? चार चार तो इनके बीच में गैप होंगे लेकिन संख्याएं पांच और नौ के बीच में चार थोड़ी ना है। कितनी है? तीन है। इसमें से भी एक कम करना है। समझ में आया? बोले कि नहीं? हैं बच्चों? अगर मुझे बीच की संख्या निकालनी बीच की कितनी है? तो लास्ट वाली में से पहली वाली संख्या माइनस करना पड़ेगा और एक कम करना पड़ेगा। व्हाई कम करेंगे? क्योंकि यहां पर केवल बीच की ही पूछा है। है ना बच्चों? अब सेम चीज यहां भी है कि 891 का स्क्वायर और 892 के स्क्वायर के बीच में कितने पूर्णांक है या कितनी संख्याएं हैं? तो ये छोटी है और यह बड़ी है। तो बड़ी संख्या में से आप लोग क्या करोगे? छोटी संख्या माइनस करोगे। है ना बच्चों? अगर प्लस वन 3:55:51 कर दूंगा तो 891² 892 को मिलाकर आ जाएंगी। टोटल संख्या पूछा है बीच में कितनी है? तो बीच में संख्याएं क्या होगी? इसमें से एक माइनस करोगे। ये आएगा कि नहीं? ये बीच की संख्याएं आ गई इनके बीच में। अब [नाक से की जाने वाली आवाज़] बताओ प्यारे बच्चों a² - b² क्या होता है? a² - b² होता है a - b * a + b पूरी दुनिया जानती है। a - b * a + a - b मतलब 892 में से 891 घटाएंगे 1 और a + b क्या आएगा? 892 में 891 अगर मैं जोड़ूंगा तो आ जाएगा प्यारे बच्चों 1783 है ना और इसमें से क्या कर दोगे आप -1 तो आ जाएगा 17 82 तो इनके बीच में कितनी संख्याएं हैं 1782 ये आंसर है ऑप्शन नंबर 891 का वर्ग और 892 के वर्ग के बीच में है ना बच्चे टोटल संख्याएं हैं 1782 चलिए चलिए इसी सवाल का एक एडवांस वर्जन 3:56:53 है। ये बताओ 502 का स्क्वायर और 513 के स्क्वायर के बीच कितने नॉन स्क्वायर नेचुरल नंबर हैं? ये सवाल आ रखा है। लेकिन वहां डाटा आसान था। मुझे पसंद नहीं आया। मैंने उसको टफ कर दिया है। सेम सवाल ही आया था। लेकिन डाटा बढ़िया मैंने बनाया है। क्या पूछा है? 502 का स्क्वायर और 513 का स्क्वायर ये संख्याएं इनके बीच में कितने ऐसे नंबर हैं जो परफेक्ट स्क्वायर नहीं है? नॉन स्क्वायर का मतलब जो किसी संख्या का स्क्वायर नहीं है? समझ आया ना प्यारे बच्चों? बताओ। 502 का वर्ग और 513 के वर्ग के बीच में कितनी संख्याएं ऐसी हैं जो किसी का भी वर्ग नहीं है? है प्यारे बच्चों। बताइए अब बताओ जरा आप लोग 3:57:55 भाई ये सब बाद में निकालना पहले आप मुझे बताओ कि 502 का स्क्वायर और 513 के स्क्वायर के बीच टोटल कितने नंबर्स बनते हैं? पहले मुझे बताओ 502 का स्क्वायर और 513 का स्क्वायर अगर सॉल्व किया जाए मान लो तो उनके बीच में कुल कितनी संख्याएं बनेंगी बीच में? है बच्चों? तो अभी मैंने कांसेप्ट बताया क्या है बीच में निकालने का मतलब लास्ट वाली में से पहली वाली घटाओ 513 का स्क्वायर - 502 का स्क्वायर और इसमें से आपको हमेशा एक कम करना है तो आएगा बीच की संख्याएं आएगा कि नहीं आएगा अब बताओ इसकी कैलकुलेशन क्या होगी गोविंद जी ये बना a² - a² - b² मतलब a - b * a + b a - b मतलब 513 में में से 502 घटाऊंगा * a + b a + b मतलब 513 में 502 जोडूंगा 10 15 माइनस 11 * 1015 आ गया 11 और 165 11 * 15 165 तो 3:59:00 11165 में से घटाऊंगा 11100 यानी कि इन दोनों संख्याओं के बीच में कुल संख्याएं 11100 कुल संख्याएं 11164 है। इन 1164 कुल संख्याओं में कुछ परफेक्ट स्क्वायर होंगी और कुछ परफेक्ट स्क्वायर नहीं होंगी। और आपसे वही वाली पूछे कि कितनी परफेक्ट स्क्वायर तो इन 11164 संख्याओं में से जो परफेक्ट स्क्वायर हैं जितनी संख्याएं परफेक्ट स्क्वायर अगर वो माइनस कर देता हूं तो बची हुई संख्याएं क्या होंगी? परफेक्ट स्क्वायर नहीं होंगी। यानी कि क्या होंगी? नॉन नॉन परफेक्ट स्क्वायर नॉन स्क्वायर होंगी। तो बताओ इनके बीच में कितने नंबर 502 के वर्ग और 513 के वर्ग के बीच में कितने नंबर ऐसे हैं जो स्क्वायर बनेंगे? परफेक्ट स्क्वायर होंगे। तो 502 के वर्ग के आगे आएगा परफेक्ट स्क्वायर नंबर 500 4:00:02 503 का स्क्वायर। आगे आएगा फिर 500 भाई 503 के आगे तो सीधा 504 का वर्ग ही आएगा ना। 505 का वर्ग, 506 का वर्ग और 513 से पहले आएगा 500 तो 502 के वर्ग और 513 के बीच में यह नंबर्स ऐसे हैं जो हैं परफेक्ट स्क्वायर। कितने हैं ये? तीन से ले 12 तक है ना? 503 से 512 तक। 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 हैं। टोटल कितने हैं? ये 11164 में से 10 माइनस करेंगे। तो बची हुई 11154 संख्याएं ऐसी हैं जो स्क्वायर नहीं है। तो आंसर है बड़ा सवाल है कि नहीं? मजा आया 4:01:02 बालक तो सो गए हैं। एक तारीख में स्टार्ट किया था। दो तारीख को [हंसी] एक तारीख से दो तारीख में आ चुके हैं। बताओ कैसा लगा सवाल बच्चों? अच्छा बताओ मजा आ रहा है कि नहीं पढ़ के? ना अभी तो शुरू हुआ है। ना ना ना अभी शुरू हुआ है। अभी नहीं ऐसे कैसे भाई? हैं अभी तो मजा आएगा। हमारा फेस वैल्यू प्लेस वैल्यू तो बताया नहीं गया लौंडो को। हैं। फेस वैल्यू बताऊंगा इनको पहले। फेस पर मारेंगे फेंक के। ठीक है बच्चों? चलिए तो आगे आपके सामने आता है अगला टाइप। आइए जी। फिर से पकड़ लेते हैं इंटीजर्स को। पकड़ लेंगे। जाने नहीं देंगे। इंटीजर्स को जाने नहीं देंगे तुझे। 4:02:02 बताओ इंटीजर्स को मैंने बांटा प्राइम और कंपोजिट। दूसरे मोहल्ले वाले खड़े हो गए कि भैया और वैरायटी है इसमें ये इंटीजर्स हैं। -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 डॉट डॉट इनफाइनाइट। ठीक है बच्चों? - इनफाइनाइट से लेके प्लस इनफाइनाइट तक। इनमें कुछ संख्याएं ऐसी दिख रही हैं जो दो से कट जाती हैं। और कुछ संख्याएं ऐसी दिखती हैं जो दो से नहीं कटती। तो जो संख्याएं दो से डिवाइड होती हैं उन्हें कहते हैं इवन नंबर्स या हिंदी में सम संख्याएं। तो इंटीजर्स को दो हिस्सों में और बांटा गया इवन और ऑड। इवन और ऑड। इवन नंबर्स या सम संख्याएं वो इंटीजर्स जो दो से कंप्लीटली डिविजिबल होते हैं। क्या कहलाते हैं? इवन। जैसे कि -6, -4, -2, 0, 0 भी एक इवन नंबर है। 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 यानी कि दो का पहाड़ा। क्या बच्चा? दो का पहाड़ा है कि 4:03:04 नहीं? तो ये सब इवन नंबर्स हैं। जीरो भी एक इवन नंबर है। आप देखें ये सब दो का पहाड़ा यानी कि दो का मल्टीपल। मैंने केवल इतनी परिभाषा बताई। जो संख्याएं दो से डिवाइड हो जाती हैं, यानी कि दो का पापा होती हैं, वह क्या कहलाती हैं? इवन नंबर। 0 भी दो का पापा है। आप बोलोगे सर कैसे? 0 का मतलब है 2 * 0 दो का मल्टीपल है। तो ज़ीरो क्या है? इवन नंबर। इससे आगे सोचने की जरूरत नहीं है। तो 0 भी क्या है? एक इवन नंबर है। इसके अलावा यानी कि जितने भी इवन नंबर होंगे वो क्या होंगे? 2 * समथिंग। दो गुना नेचुरल नंबर। दो गुणा कोई नंबर होगा प्यारे बच्चों। ठीक है ना? चलिए ओड नंबर्स या हिंदी में विषम संख्याएं। विषम संख्याएं वो हैं वो इंटीजर्स जो दो से डिवाइड नहीं होते। जैसे कि 1 3 5 7 9 -1 -3 ये सब क्या 4:04:05 है आपके? ओड नंबर्स हैं। विषम संख्याएं। विषम संख्याएं दो से नहीं कटेंगी। तो दो से भाग करने पर शेषफल आएगा। क्या आ सकता है? दो से भाग करने पर नौ को दो से भाग करो। 2 * 4 = 8 क्या बचेगा शेषफल? तो ओड नंबर्स होती हैं 2n + - 1 फॉर्म। या तो 2n + 1 या जैसे कि सात सात एक ओड नंबर है। सात को लिख सकते हो 2 * 3 = 6 + 1 या लिख सकते हैं 2 * 4 = 8 - 1 है ना? तो ओड नंबर्स या तो 2n + - 1 फॉर्म में लिखा जा सकता है। 2n + - 1 फॉर्मेट। ठीक है? चलिए जीरो भी इवन नंबर है। चलो यह चीज आपको अच्छे से समझनी है कि ऑड और इवन को अगर ऑपरेशन किया जाए आपस में जोड़ा घटाया जाए तो क्या-क्या आ सकता है? बहुत जरूरी है यह बात। मजाक में लेना। ओड नंबर की ऑड नंबर में गुणा करके हमेशा ओड ही आएगा। ऑड नंबर ले लेते हैं प्यारे दोस्तों पांच और दूसरा ऑड नंबर लेते हैं 4:05:06 नौ। गुणा करेंगे 5 * 9 45 भी क्या आएगा? ऑड ही आएगा। ठीक है? इवन नंबर की इवन नंबर में गुणा करके हमेशा इवन ही आएगा। इवन नंबर ले लेते हैं आठ। दूसरा इवन नंबर ले लेते हैं 12। आठ और 12 की गुणा करेंगे 96 तो क्या आएगा? दो से कटने वाला ही नंबर आएगा कि नहीं? है ना? ओड गुणा इवन नंबर। इवन नंबर यानी कि दो का मल्टीपल गुणा करते रहो। दो से तो कटेगा ही। ऑड नंबर ले लेते हैं। जैसे कि हमने ले लिया यहां पे सात। इवन नंबर हमने ले लिया 12। तो 7 * 12 क्या आएगा? 84 84 कैसा नंबर होगा? इवन नंबर। समझे ना? या - 12 कर लो प्यारे बच्चों। तो भी यह क्या आएगा? इवन ही आएगा। ठीक है? ओड नंबर में ओड नंबर जोड़ा जाए या घटाया जाए हमेशा इवन आएगा। यह बात ध्यान रखिएगा। ऑड में ऑड नंबर जोड़ा जाए या घटाया जाए इवन आएगा। मैं एक ऑड नंबर ले लेता हूं। 11 दूसरा ऑड नंबर ले लेता हूं मैं आपका पांच। है ना? 4:06:07 11 और पांच को जोड़ेंगे क्या आएगा? 16 इवन आएगा। 11 में से पांच घटाएंगे छ। यह भी इवन आएगा। हमेशा कोई भी आप मुंह उठा के ले लीजिए। ठीक है ना? चलो इवन नंबर में इवन नंबर जोड़ा या जोड़ा जाए या घटाया जाए? इवन ही आएगा। ये तो जाहिर सी बात है। ये भी दो से कटेगा। ये भी दो से कटेगा। जोड़ने घटाने वाला भी दो से कटेगा। एक ओड नंबर में एक इवन नंबर जोड़ा जाए या घटाया जाए क्या आएगा? ओड आएगा। एक और नंबर ले लेते हैं 13। एक इवन नंबर ले लेते हैं चार। 13 में चार आप जोड़ोगे क्या आएगा? 17। एक विषम संख्या है। दो से नहीं कटेगी। 13 में से चार घटाओगे नौ। नौ क्या आएगा? ओड नंबर विषम संख्या आएगी। समझे ना बच्चों? तो मुझे लगता है ये बात आप अच्छे से कैच कर पा रहे हो। है ना? इसका हमने इस्तेमाल भी किया है सवालों में। आज की क्लास [नाक से की जाने वाली आवाज़] में ही। ठीक है? यह बताइए। जी। क्या? 4:07:09 कौन कह रहा है? 4:07:20 51 4:07:34 नया हुआ है। बताओ हे वानखेड़े जी यदि a और b ओड नंबर्स हैं तो कौन सा इवन है? अगर ए और बी ओड नंबर हैं दोनों ही ओड नंबर है तो कौन सा इवन होगा? ये चार ऑप्शन है। सीएचएसएल का पूछा हुआ सवाल है सेम टू सेम। बताइए कौन करेगा? हैं जी। अगर a और b दो ओड नंबर है तो ऑड में ओड जोड़ूंगा क्या आएगा इवन और ऑड की ऑड में गुणा करूंगा क्या आएगा ऑड तो इवन प्लस ऑड ऑड इवन में ऑड संख्या जोड़ी जाए तो क्या आएगा ऑड ही आएगा क्या आना चाहिए ये वाला आंसर गलत है ये देखो a और बी ऑड नंबर है ऑड प्लस ऑड इवन इवन में फिर से वन यानी कि ऑड नंबर जोड़ूंगा तो ऑड आएगा। यानी कि यह भी तो आंसर क्या दिख 4:08:36 रहा है? डी। डी ऑप्शन। आप कुछ वैल्यू भी लेके चेक कर सकते हो यहां पे। a और b दोनों ऑड नंबर है। ऑड में ऑड जोडूंगा इवन। ये 2ab 2ab यानी कि दो का मल्टीपल हो गया। दो का मल्टीपल इवन नंबर में इवन नंबर जोड़ा जाए तो जोड़ के भी क्या आएगा? इवन। तो यही आंसर है कि नहीं? है ना? सीधा। चलिए प्यारे बच्चों आइए आगे चलते हैं। [हंसी][अचानक ज़ोर से सांस लेने की आवाज़] अगला कांसेप्ट अगला कांसेप्ट फेस वैल्यू और प्लेस वैल्यू फेस वैल्यू और प्लेस वैल्यू हैं गोविंद जी आता है तुम्हें फेस वैल्यू और फेस वैल्यू मतलब गंगाधर ही शक्तिमान है। हैं बच्चे आपके सामने एक संख्या लिखी हुई है। देखो संख्याएं किससे बनती हैं? संख्या बनती हैं 10 अंकों से। 0 1 2 3 4 5 6 7 8 4:09:36 9 ये डिजिट्स हैं। अंक 10 अंक भगवान ने दिए। इन्हीं को खींच के आप कितनी भी बड़ी संख्या बना सकते हो। जैसे हमने एक संख्या बनाई 6 7 1 2 3 4 इस संख्या में काफी सारे सात अंक हैं। अब मैं आपसे पूछता हूं कि सात का फेस वैल्यू बताओ। तो गंगाधारी शक्तिमान है। जिसका फेस वैल्यू पूछा जाए वही उसका फेस है। वही उसकी वैल्यू है। तो सात का फेस वैल्यू क्या है? सात। इसमें पूछूं दो का फेस वैल्यू क्या है? दो। चार का फेस वैल्यू क्या है? चार। फेस वैल्यू तो आसान है। अब हमें समझना है प्लेस वैल्यू। है ना? कांसेप्ट समझे? प्लेस वैल्यू। देखो एक बात सुनिएगा। मैं आपके सामने अलजेब यह लिखता हूं ab क्या लिखा ab तो अलजेब्रा में इसका मतलब है a * b लेकिन जब मैं नंबर सिस्टम में लिखता हूं ab नंबर नंबर लिखता हूं नंबर ab तो इसका मतलब a * b नहीं है ना मैंने आपके 4:10:40 सामने लिखा 53 तो पांच और तीन क्या है दो अंक है तो क्या 53 का मतलब 5 * 3 है 5 * 3 तो 15 होता है। अलजेब्रा के हिसाब से तो a b का मतलब a * b है। लेकिन नंबर सिस्टम में ऐसा नहीं है। जब हम नंबर सिस्टम की बात करते हैं तो 53 जो है दो अंकों से मिलके बना है। जिसमें तीन है इकाई का अंक। इसे बोलते हैं यूनिट डिजिट। पांच है दहाई का अंक। इसे बोलेंगे टेंस डिजिट। तो इकाई का अंक यानी कि तीन में एक से गुणा। दहाई का अंक है पांच। 5 में 10 से गुणा तो 5 * 10 50 और + 3 53 तो 53 बनता है प्यारे बच्चों 10 10 के पांच नोट और एक-एक के तीन नोट तब 53 बनता है। समझे ना प्यारे बच्चों? तो ये भाई इतना बोलते हैं कि भाई 10 10 के पांच नोट दे ला एक-एक के तीन नोट दे तो दुकानदार कहता है भागते रहिए ऐसी तैसी। इसलिए हमने उसको नाम दे दिया 53 53। समझे ना? असली मैथमेटिक्स ये 4:11:44 है। ये सुविधा के लिए लिखा गया है। ये सुविधा है। ये है असली संख्या। 53 कुछ होता ही नहीं है। होता ये है। 10 10 के पांच नोट और एक-ए के तीन नोट। ठीक है ना? ऐसी अगर मैं आपके सामने कहता हूं कि AB एक दो अंकों की संख्या है। तो B इकाई का अंक A B इकाई के अंक में एक से गुणा और A दहाई का अंक है प्यारे बच्चों? इसमें 10 से गुणा। ठीक है ना बच्चों? कोो तकलीफ। मान लीजिए अगर आपके सामने कोई संख्या लिखी है तीन अंकों की जैसे कि 874 तो चार है इकाई का अंक सात है दहाई का अंक 10्स प्लेस डिजिट आठ है 100 प्लेस डिजिट ठीक है बच्चों तो इसको कैसे लिखेंगे 4 * 1 चार सात को क्या लिखेंगे 7 * यानी कि 70 और ये क्या हो गया 8 * 100 तब जोड़ के आएगा 8 * 100 800 + 70 + 4 है ना एक के चार नोट, 10 10 के सात नोट, 100-100 के आठ नोट, तब जोड़के बना है 8 74. समझे ना 4:12:44 प्यारे बच्चों? तो, यह हर संख्या में होगा। होगा कि नहीं होगा? तो, बहुत अच्छे से समझिए मेरे भाई, बहुत अच्छे से। मान लीजिए जैसे मैंने आपके सामने नंबर लिखा 6 7324 ये कौन है आदिवासी ये? 6 732 4 तो यह एक पांच अंकों की संख्या है। इसमें पांच अंक हैं। तो ध्यान सुनिएगा प्यारे बच्चों। यहां कोई दशमलव वगैरह तो है नहीं। तो पांच अंकों की संख्या तो होता क्या है कि लास्ट वाले में यानी कि इकाई के अंक में एक से गुणा। है दिनेश जी? इसमें होगी 10 से गुणा। इसमें होगी 10 की पावर दो यानी कि 100 से गुणा। इसमें होगी 10 की पावर यानी कि 1000 से गुणा और इसमें होगी 10 की पावर 4 यानी कि 10000 से गुणा तब जाके संख्या बनेगी। तो देखो संख्या क्या बनेगी? 4 * 1 = 4 2 * 10 3 * 100 7 * 4:13:47 1000 और 6 * 10000 जोड़ोगे 60000 + 7000 + 300 + 20 + 4 तब जाके बना 67324। समझ में आई आपको मेरी बात? तो आप बोलोगे हां जी सर बिल्कुल समझ में आई। अब मैं आपसे पूछ लूं कि बताओ इसी नंबर में इसी नंबर में कोई भी उठा लीजिए। मान लो मैं आपसे कहूं सेवन का प्लेस वैल्यू क्या है? सेवन का प्लेस वैल्यू क्या है? सेवन का प्लेस वैल्यू क्या है? सेवन का स्थानीय मान क्या है? तो आप बताओ यह इस संख्या का फॉर्मेट है। ऐसे हर संख्या लिखेंगे। तो से कहां आ रहा है? से एक ही जगह आ रहा है ये वाला। तो आप बताओ से को मैंने क्या लिखा था? 7 * 1000 यानी कि सेवन का प्लेस वैल्यू है 7000 क्या है? समझ में आया प्यारे बच्चों? कोई दिक्कत? हम तो किसी भी डिजिट का फेस वैल्यू प्लेस 4:14:48 वैल्यू निकाली जाती है डिजिट की। किसी भी डिजिट का प्लेस वैल्यू निकालना है तो डिजिट तो आएगा ही आएगा फेस। और उसके आगे के सारे अंक क्या कर दो? जीरो जीरो बना लो। 7 0 7000 की पोजीशन पे है सात। ठीक है ना? चलिए यह सवाल आ रखे हैं पेपर में। लेकिन मैं आपको सिखाना चाहता हूं। अभी तक दशमलव पे नहीं पूछा उसने डेसिमल पे। मान लीजिए एक संख्या है 49.678। 49.678 का मतलब है 49 + 76 8 ये है तो ये है पूर्णांक और ये है दशमलव तो पूर्णांक वाली जो चीज होती है है ना जो इंटीजर है उसमें होती है 10 से गुणा और दशमलव के बाद वाला जो माल होता है उसमें होता है 10 से भाग दशमलव का मतलब ही है 10 से भाग करना 10 टुकड़ा में बांटते जाना तो 49 है 49 मतलब नौ में एक से गुणा और चार में प्यारे बच्चों हो गया 4 2 40 और 9 49 4:15:51 लेकिन दशमलव के बाद भाग होना शुरू होगा 10 से दशमलव के बाद है सात सात को 10 से भाग देंगे 7 / 10 छ को भाग देंगे फिर 10 की पावर 2 से 100 से आठ आठ को भाग देंगे किससे 1000 से देखो 40 + 9 49 बनेगा 7 /10 7 6 / 100 और 8 / 1000.008 और इनको जोड़ के बनेगा 49.768 मजा आया कि नहीं कोई दिक्कत बेहतरीन समझे? है ना? इससे बढ़िया तो कोई समझा नहीं सकता मेरे भाई। तो इसी नंबर में अगर मैं आपसे छह का प्लेस वैल्यू पूछूं छह का। हालांकि छह दो ही जगह होता है। तो फिर वो बोल के देगा ये वाला छह। यहां छह ये आ रहा है। इस छह का प्लेस वैल्यू क्या होगा? 6 दशमलव के बाद है। दशमलव के बाद मतलब डिवाइड होगा। तो दूसरी पोजीशन पे जा रहे हैं तो 6 / 100 ये छह की प्लेस वैल्यू आ गई। समझे ना बच्चों? मजा आया। जी क्लियर है? 4:16:54 क्या ही क्लियर होगा तुम लोगों को? क्लियर तो मैं करूंगा तुम्हें अभी। ठीक है जी। आइए बताओ जरा। रेलवे एनटीपीसी 2021 का सवाल बताइए। ए बी सी डी ई बाएं से दाएं के क्रम में एक संख्या के अंक हैं। तो वह संख्या ज्ञात ए बी सी डी ई डिजिट्स हैं एक संख्या के जिनका ऑर्डर है लेफ्ट टू राइट। लेफ्ट टू राइट मतलब लेफ्ट में ए फिर बी फिर सी फिर डी फिर ये संख्या है। बताओ संख्या क्या ऐसा नहीं दिख रहा ऑप्शन में? तो बताओ ऐसा ऑप्शन में कहां दिख रहा है मुझे? कौन सा ऑप्शन है ऐसा? हैं डी ऑप्शन डी ऑप्शन ही तो गलती कर दी वानखेड़े जी देखा नंबर कट गया ई ससुरा सब डी बताता है डी नहीं है क्या आएगा बी ऑप्शन ए बी सी डी ई ई में एक से गुणा डी में 10 से सी में 10 4:17:56 की पावर 2 से बी में 10 की पावर तीन से और ए में 10 की पावर चार से मस्त है कोई तकलीफ ये बताइए बच्चों बच्चों 71624 में से का प्लेस वैल्यू क्या है? सेवन का प्लेस वैल्यू ये है सेवन। प्लेस वैल्यू क्या आएगा? सेवन के आगे 1 2 3 4 चार अंक है। सबको क्या बना दो? 0 तो 70000 आ गया। सेवन के आगे चार जीरो। आइए आगे चलते हैं। संख्या में फाइव का प्लेस वैल्यू क्या है? फाइव एक ही जगह आ रहा है। यह रहा पांच। तो पांच के आगे जितने भी डिजिट है सबको ज़ीरो बना देंगे। 1 2 3 4 5 6 7 पांच के आगे सात सात जीरो का मतलब 10 सात बार आया यानी कि 5 * 10 की पावर सात पांच के आगे जितने भी डिजिट हैं कितने डिजिट हैं? सात पांच के आगे सात जीरो करोगे यानी कि 10 सात बार आया। 5 * 10 की पावर सात। 4:18:57 आइए बताओ। नहीं अभी नहीं। 51637 516372 में सिक्स की प्लेस वैल्यू और फेस वैल्यू का डिफरेंस ज्ञात कीजिए। सिक्स की प्लेस वैल्यू क्या है? छह। छह के आगे जितने भी डिजिट हैं प्लेस वैल्यू। सिक्स का फेस वैल्यू सिक्स का फेस सिक्स है। इनका डिफरेंस 5994 समझे बच्चों? आइए यह बताइए। आखरी सवाल है। कौन करके बताएगा जी इस सवाल का? आखिरी सवाल जल्दी से 4:19:53 2 3 5 6 9 8 7 में पांच के प्लेस वैल्यू और फेस वैल्यू का डिफरेंस तो पांच यहां पे इसकी प्लेस वैल्यू क्या आएगी? पांच के आगे चार डिजिट है। चार जीरो और उसमें फेस वैल्यू पांच इनका अंतर क्या आएगा? ठीक है बच्चों? खत्म। इसी के साथ यह खत्म हो जाता है। चलिए आगे चलते हैं आपके सामने हैं। 4:20:27 नहीं 4:20:34 भाग देना ही तो सिखाना है इन्हें। 4:20:47 यहां तक है। 4:21:17 ठीक है खत्म प्यारे दोस्तों आपके सामने ये अब अगला कांसेप्ट अगला टाइप आता है आपके सामने टाइप नंबर दो रिमेंडर थ्योरम हिंदी में शेषफल प्रमेय ए तेरी चिंता मत करो टिके रहो क्या आपको भाग देना आता है भाग दिए हो हैं भाग देना आता है वानखेड़े तुम्हें नहीं आता चलो आज भाग देना सिखाते हैं मान लीजिए एक संख्या 72 है मुझे इसको 13 से भाग करना है यानी कि 72 के पीस करने हैं 13 13 के 72 के पीस करने हैं 13 13 के। तो भैया जिस संख्या में हम भाग देते हैं, जिस संख्या में हम भाग देते हैं, वो कहलाती है डिविडेंड या हिंदी में भाज्य। तो हम 72 में भाग दे रहे हैं। 72 क्या है? डिविडेंड या भाज्य। जिस संख्या से डिवाइड करते हैं, है ना? जितने हिस्से जितने के पीसेस किए 4:22:18 जाते हैं, वो क्या कहलाती है? डिवीजन। हम 13 से भाग दे रहे हैं। तो 13 क्या है? डिवीजन। या हिंदी में भाजक। क्या कहलाती है वह? भाजक। समझ में आया प्यारे बच्चों? आप बोलोगे सर बहुत बढ़िया। गुड। तो 72 को अगर 13 से भाग देंगे तो 72 से छोटा 13 से कटने वाला नंबर 13 * 5 = 65 13 पांच हिस्से हो जाएंगे। तो जितने हिस्से होते हैं प्यारे दोस्तों या जितनी बार भाग जाता है वह कहलाता है कशेंट हिंदी में भागफल। 13 * 5 = 65 गया। लेकिन हमारे पास तो 72 था। 65 13 के पांच टुकड़ा कर दिए। सात अभी भी बच गया है ना? जो सात बच गया उसे कहलाते हैं कहते हैं हम लोग शेषफल या रिमाइंडर। तो आखिर में आपका शेषफल क्या बचा? सात रिमाइंडर। ठीक है मेरे भाई? मजा आया? तो ये भाग देने का तरीका है। अगर आप यहां पे ध्यान से 4:23:18 देखो तो आपने 72 को 13 से भाग किया। पांच बार पहाड़ा गया। शेषफल कितना आया? तो आपने 72 को भाग दिया था किससे? 13 से। तो 13 के कितने हिस्से हो पाए? 13 13 के पांच। 13 * 5 65 लेकिन सात बच गया। यानी कि प्लस सात करूंगा तो क्या आ जाएगा? 72। तो आपने एक बात देखी कि डिविडेंड यानी कि भाज्य बराबर होता है भाजक गु भागफल प्लस डिविडेंड बराबर है डिवाइजर * कशंट प्लस डिविडेंड बराबर है डिवाइजर गुणा कशेंट प्लस रिमाइंडर है ना डिविडेंड आप 72 को भाग दे रहे थे किससे 13 से कशेंट पांच बार पहाड़ा गया आखिर में सात बच गया तो यह नियम सेट हो रहा है कि नहीं तो किसी भी भाग में जिस संख्या में हम भाग दे रहे हैं वो क्या होता है प्यारे बच्चों? डिविडेंड बराबर डिवाइजर * कोशेंट प्लस रिमेंडर। 4:24:18 अगला कांसेप्ट ये हो गया प्यारे बच्चों। जब भी हम कोई भाग का प्रश्न करते हैं तो रिमाइंडर हमेशा डिवीजर से छोटा आता है। शेषफल कभी भी भाग देने वाली संख्या से बड़ा नहीं आ सकता। आ सकता है क्या सचिन? जैसे 83 है। 83 को 12 से भाग दो। तो 12 * 6 = 72 शेषफल क्या आएगा? 11 12 से छोटा आया कि नहीं? भाग दे रहे थे 12 से शेषफल 11 आया। 79 को 19 से भाग दिया 19 * 4 = 76 शेषफल क्या आया? तो शेषफल 19 से छोटा आया है। 76 को 12 से भाग देंगे। 12 * 6 = 72 शेषफल क्या आएगा? 44 को 23 से भाग देंगे। 23 * 1 = 23 शेषफल क्या आएगा? तो यानी कि शेषफल हमेशा रिमाइंडर हमेशा डिवीजर से छोटा आता है। अगर 13 से भाग दे रहे तो शेषफल 13 से छोटा ही आएगा। चाहे किसी भी नंबर को भाग दीजिए। चलिए आगे चलते हैं। ये बताइए। मान लीजिए आप किसी नंबर n को डिवाइजर d से 4:25:21 डिवाइड करते हैं। ध्यान से सुनिएगा। अगर आप किसी नंबर n को d से भाग करते हैं। d मतलब डिवाइजर। तो भाग करने पर प्यारे बच्चों हो सकता है कि पूरा पूरा डिवाइड हो जाए। शेषफल जीरो आ जाए। हो सकता है एक आ जाए, दो आ जाए, तीन आ जाए। और आखिर में क्या आएगा? d - कभी भी अगर मैं डिवाइजर d से भाग दे रहा हूं तो शेषफल d के बराबर या d से बड़ा नहीं आ सकता। शेषफल क्या आ सकता है? केवल d - 1 ठीक है ना? शेषफल हमेशा भाग देने वाली संख्या भाजक से छोटा होता है। ठीक है ना? चलिए अब आपको जरा भाग देकर सिखाते हैं। मान लीजिए मैं 132 को भाग देता हूं 22 से। तो बताओ भाग देने पर शेषफल क्या आएगा? 22 * 6का 132 पूरा-पूरा कट गया। 22 * 6 = 132 शेषफल क्या आया? यानी कि 132 को 22 से भाग करने पर शेषफल तो हम कहते हैं अगर 132 4:26:24 को 22 से भाग करने पर शेषफल जीरो आ रहा है। अगर रिमाइंडर जीरो आ रहा है तो कहा जाता है कि 132 इज कंप्लीटली डिविजिबल बाय 22 132 22 से पूर्णतः विभाज्य है। कंप्लीटली डिविजिबल एग्जैक्टली डिविजिबल का मतलब है कि भाग देने पर शेषफल जीरो आए। 132 को 22 से भाग देने पर रिमाइंडर जीरो आया। यानी कि 132 22 से एग्जजेक्टली डिविजबल है। ऐसा क्यों हो पाया? अगर आप ध्यान से देखो तो 132 का मतलब होता है 22 * 6का 100 32 यानी कि जो संख्या 132 है यह खुद 22 का पापा है। 132 जो है 22 का एक पापा। 22 का मल्टीपल है। है ना? है कि नहीं प्यारे बच्चों? तो मैं कह सकता हूं कि 132 जो है 22 का मल्टीपल है प्यारे बच्चों। तो क्या कहा जाएगा? 132 22 का मल्टीपल है। समझ में आया 4:27:24 प्यारे बच्चों? मल्टीपल या हिंदी में गुणक। 132 22 का पापा है या 22 132 का एक बच्चा। 132 के भीतर ही क्या छुपा हुआ है? 22 यानी कि 132 का फैक्टर है 22? तो प्यारे बच्चों 132 का फैक्टर है 22. 22 इज ए फैक्टर। फैक्टर को हिंदी में कहते हैं हम लोग गुणनखंड। ठीक है? तो अगर आप किसी भी संख्या को उसी के फैक्टर से उसी के बच्चे से भाग करोगे तो भाग देने पर शेषफल क्या आएगा? जीरो आएगा। समझे ना बच्चों? अगर भाग देने पर शेषफल जीरो आ रहा है तो जो डिवीजर है वह उस संख्या का एक बच्चा है। समझे प्यारे बच्चों? ठीक है? अगला कांसेप्ट है बच्चों छोटी संख्या से बड़ी संख्या में भाग देना कोई दिक्कत नहीं है। जैसे हम 102 है। 102 को 19 से भाग देंगे। 19 * 5 = 95 शेषफल क्या आएगा? सात। तो हमारा शेषफल 4:28:25 क्या आ रहा है प्यारे बच्चों? क्या आ रहा है शेषफल? शेषफल की जो वैल्यू है वो डिवीजर से छोटी आ रही है। रिमाइंडर हमेशा डिवीजर से छोटा होगा। लेकिन अगर आप किसी बड़ी संख्या से छोटी संख्या में भाग दें। जैसे कि मान लीजिए 15 15 को अगर मैं 23 से भाग दूंगा 15 छोटी संख्या और 23 बड़ी संख्या तो भाग देने पर बताओ बच्चों शेषफल क्या आएगा? है ना? हर भाई बहुत सिस्टमैटिक वे में कंटेंट बनाता हूं। बहुत सिस्टेटिक वे में 15 छोटी संख्या है। इसको 15 से बड़ी संख्या 23 से भाग दो। तो 23 * 1 = 23 एक टुकड़ा हो ही नहीं पाएगा। तो क्या टुकड़ा करेंगे आप? कोई टुकड़ा नहीं हो पाया। है ना बच्चों? तो यानी कि क्या शेषफल बचेगा? तो अगर आप छोटी संख्या को बड़ी संख्या से भाग दे रहे हैं तो शेषफल क्या आएगा? खुद वही छोटी संख्या आ जाती है। है ना बच्चे? तो एक स्पेशल केस ऐसा है कि जब आप किसी संख्या को डिवीजर से भाग कर रहे हैं तो रिमाइंडर डिवीजर के बराबर आ रहा है। कब? 4:29:28 जब छोटी संख्या को आप बड़ी से भाग देते हैं। ठीक है ना बच्चे? चलिए आगे चलते हैं। 4:29:41 चलो तभी तो एक दिन का गैप है। [हंसी] चलिए बच्चों बताओ 83 को 15 से भाग करने पर शेषफल क्या आएगा? अगर आप 83 को 15 से भाग करेंगे तो 15 * 5 75 75 क्या है? 83 तो क्या बच जाएगा शेषफल? आठ है ना? यानी कि 83 15 से डिविजिबल नहीं है। अगर शेषफल आ रहा है तो हम कहेंगे कि 83 15 से डिविजिबल नहीं है। समझ गए प्यारे बच्चों? डिविजिबल नहीं है तो कोशिश करो ना डिविजिबल बनाने की। आप बताइए जब मैं 83 को 15 से भाग कर रहा हूं तो शेषफल आठ आ रहा है। अगर मैं 83 में से आठ घटा दूं यानी कि इस संख्या 83 में से मैं रिमाइंडर माइनस कर दूं तो जो संख्या आएगी 75 वो 15 से पूरी-पूरी 4:30:43 डिविजिबल होगी। है कि नहीं प्यारे बच्चों? कोई दिक्कत? दूसरा मेथड यह भी है कि 83 15 से भाग नहीं होता। क्योंकि 83 को 15 से भाग करने पर शेषफल क्या आता है? आठ शेषफल आठ आ रहा है। अगर इसी शेषफल को भाग किससे कर रहे हैं? 15 से। इसी शेषफल को अगर 15 के बराबर बनाया जाए। यानी कि आठ में क्या जोड़ दूं? शेषफल में कुछ ऐसा करो प्यारे बच्चों। कुछ ऐसा जोड़ो कि जिससे हम भाग दे रहे हैं डिवीजर के बराबर हो जाए। है ना? यानी कि आठ में क्या जोड़ना पड़ेगा? 8 + 7 15 तो अगर 83 में मैं सात जोड़ दूंगा तो एक नंबर बनेगा 90 वो नंबर भी 15 से एग्जैक्ट डिविजिबल होगा। तो दो रास्ते 83 15 से नहीं कटता। तो या तो 83 में से आठ रिमाइंडर घटा लो तो 15 से कट जाएगा। या 83 में प्यारे बच्चों आप रिमेंडर को डिवीजर के बराबर बना दो। यानी कि सात जोड़ दो तो 4:31:46 भी 15 से कट जाएगा। है ना बच्चों? ये बहुत गहरी बातें हैं जो सवालों में काम आती है। आप रेबल्ला की तरह जो है ये देखते रहते हैं। चलिए सवाल करके बताएंगे आपके सामने। आ गया क्वेश्चन। करो जरा। 4:32:07 भाग के एक सवाल में डिवीजर इज 14 टाइम्स द कशेंट एंड फाइव टाइम्स दी रिमेंडर। एक भाग का प्रश्न है जिसमें डिवीजर कशेंट का 14 गुना है। रिमाइंडर का पांच गुना है। रिमाइंडर 56 है। तो क्या पूछा है? डिविडेंड बहुत डिविडेंड क्या है? बढ़िया सवाल है प्यारे बच्चों। ध्यान से सुनिएगा। मान लीजिए कि हम एक संख्या को दूसरी संख्या से भाग दे रहे हैं। तो भाग देने पर रिमाइंडर कितना है? रिमाइंडर कितना है? रिमाइंडर है 56। सवाल में देखिए सवाल में क्या बोला है? सवाल में बोला है डिवीजर दो बातें बोली गई। डिवीजर कशेंट का 14 गुना है और रिमाइंडर का पांच गुना। डिवीजर जो है डिवीजर मतलब जिस संख्या से भाग दे रहे हैं इस डिवीजर की वैल्यू शेषफल रिमाइंडर का पांच गुना है। रिमाइंडर अगर 56 है तो 56 का पांच गुना क्या आएगा? 200 80 आएगा ना? 56 का पांच गुना कितना 4:33:08 आएगा? 200 क्या आ गया? डिवीजर। हमें क्या निकालना है? डिविडेंड। तो क्या चाहिए? अब कशेंट। भागफल चाहिए। भागफल क्या आएगा? बोला है डिवीजर की जो वैल्यू है वो कशेंट का 14 गुना है। डिवीजर की वैल्यू है 280 और डिवीजर की वैल्यू कशेंट का 14 गुना है। तो कशेंट कितना आएगा? 14 से 280 कट गया 20 बार। यानी कि कितना आ गया? 20। ठीक है बच्चों? भागफल कितना आया? 20। तो आपका डिविडेंड यानी कि भाज्य क्या आएगा प्यारे बच्चों? 280 * 20 5600 और प्लस रिमाइंडर 56 यानी कि 5600 भाज्य बराबर भाजक * भागफल प्लस शेषफल तो 280 * 20 और जमा का 56 यह मस्त आ गया प्यारे बच्चों बताओ समझ में आया कि नहीं? आप सीधा भी कर सकते थे कि यहां पर प्यारे 4:34:10 बच्चों शेषफल आपका 56 है। है ना? और यह भी 14 गुना हो रहा है। तो जो भी आंसर आएगा सात से कटने वाला। सात से कटने वाला नंबर देख सकते थे। एक ही नंबर था सात से कटने वाला। ठीक है बच्चे? चलो यह बताओ। सीएचएसएल 2023 प्री के पेपर का सवाल है। कौन करेगा? एक संख्या को 78 से भाग देने पर भागफल 280 और शेषफल 67 प्राप्त होता है। उसी संख्या को 65 से भाग दिया जाए तो शेषफल का मान क्या होगा? ये सवाल है। कोई संख्या है जिसको 78 से भाग करते हैं। डिवीजर है। भाग करने पर भागफल या कशंट 280 है और शेषफल है 6। तो मुझे बताओ वो संख्या क्या होगी? संख्या या डिविडेंड क्या होता है? भाज्य बराबर भाजक गुणा भागफल प्लस शेषफल। डिविडेंड बराबर डिवाइजर * कोशंट प्लस रिमाइंडर। तो 4:35:13 डिवाइजर है 78 भाग करने पर आपका भागफल है 280 प्लस रिमाइंडर है 67 प्लस रिमाइंडर ये संख्या आ गई इस संख्या की कैलकुलेशन मत करो क्या करना है सॉल्व करना है सॉल्व करने का मतलब सॉल्व नहीं करना इसी संख्या को आपको 65 से भाग करना है कि बताओ इस संख्या को 65 से 65 से अगर डिवाइड किया जाए तो 65 से भाग करने पर शेषफल क्या आएगा? तो बीच में क्या है? जी प्लस तो प्लस ऐसा नहीं कि आप इसको अलग-अलग सॉल्व करो। पहले कैलकुलेशन करो फिर 65 से भाग दो। अलग-अलग भाग करिए ना। 65 से है कि नहीं बच्चे? आपके सामने लिखा है a + b - c / x तो आप a को x से अलग डिवाइड कर लो। + b को x से अलग डिवाइड कर लो। और - c को x से अलग। है कि नहीं बच्चे? अरे नहीं पता होता भाई। मुझे पता है। ठीक है? तो अलग-अलग डिवाइड कर लो। अच्छा 4:36:16 यह नंबर है 78 * 280 इसको किससे भाग करना है? 65 है। 13 * 5 65 ये जो नंबर है 78 के भीतर आ रहा है 13 और 280 के भीतर आ रहा है 10 या पांच। यानी कि नंबर 65 से कट जाएगा। 78 में 13 आ गया। 280 में पांच आ गया। यानी कि नंबर 65 से पूरा पूरा कट जाएगा। तो केवल ये है 65 से पूरा-पूरा कट जाएगा। तो 65 से भाग करने पर शेषफल केवल 67 को भाग करना है 65 से। 67 को 65 से भाग करेंगे शेषफल 65 * 1 = 65 2 तो क्या आएगा रिमाइंडर? 0 + 2 दो ये बताइए। चलिए इस सवाल का क्या आंसर है? कौन करेगा? बताओ जल्दी से। 4:37:10 सर [हंसी] बताओ 4:38:22 ठीक है। 4:38:55 जब पूर्णांक n को 18 से विभाजित किया जाता है तो भागफल x और शेषफल छ प्राप्त होता है। भाई जब n को 18 से डिवाइड करते हैं तो डिवाइड करने पर भागफल x है और शेषफल छ। यह है पहली बात। आगे भी कुछ कह रहा है क्या? जब पूर्णांक n को 25 से डिवाइड किया जाता है तो 25 से भाग करने पर भागफल y है और शेषफल 15 प्राप्त होता है। तो कौन सा विकल्प सत्य है? यानी कि x और y में रिश्ता निकालना है। मेरे लिए तो बहुत सवाल आसान हुआ भैया। क्योंकि संख्या n आपको पता लग जाएगी यहां से। संख्या n बराबर भाज्य बराबर भाजक * भागफल + शेषफल। तो संख्या n का मान आएगा 18 * x + 6. यहां से संख्या n की वैल्यू क्या आएगी? 25 से भाग करने पर भागफल y है। शेषफल 15 तो 25 * y + 15 25y + 15 दोनों ही संख्या n की वैल्यू है क्योंकि सेम ही संख्या है। तो दोनों क्या 4:39:57 होना चाहिए? बराबर ये बराबर होना चाहिए। तो प्यारे बच्चों इसको उधर ले जाते हैं। 25x नहीं 18x - 25y छ उधर जाएगा तो 15 - 6 9 ठीक है डी ऑप्शन चलिए बताइए सीजीएल का सवाल है। बहुत बढ़िया सवाल है ये। करो। दो [नाक से की जाने वाली आवाज़] धनात्मक संख्या में 2000 एक का अंतर है। कितने का अंतर है? जब बड़ी संख्या को छोटी से भाग करते हैं तो भागफल नौ और शेषफल 41 है। बड़ी संख्या के अंकों का योग क्या होगा? सही है ना? बताओ। देखो एक बात ध्यान से सुनना। वैसे मैं आपको कांसेप्ट पढ़ाऊंगा। एक डिजिटल सम पढ़ाऊंगा ना। लेकिन मैं इसका बेसिक बताऊंगा। पर अगर आपको पता है तो सवाल तुरंत हो जाएगा। कह रहा है बड़ी संख्या को 4:40:57 छोटी से भाग करने पर भागफल नौ और शेषफल 41 है। तो इस सवाल का आंसर आ जाएगा प्यारे बच्चों 14 आएगा कि नहीं आएगा? बहुत बढ़िया। देखो बहुत अच्छा सवाल है। मान लिया कि जैसे दो पॉजिटिव नंबर हैं a और b क्या मान लिया वानखेड़े जी? a और बोला है a और b का अंतर 2001 है। यानी कि a - b = 2000 1 मस्त है। बड़ी में से छोटी संख्या घटाएंगे। बोला है कि जब बड़ी संख्या बड़ी संख्या मैंने a मानी है छोटी बी। है ना? मान लीजिए दो पॉजिटिव नंबर a और b है। a बड़ा है और b छोटा। तो जब बड़ी संख्या a को छोटी संख्या b से भाग करते तो भागफल आया नौ और शेषफल आया 41। तो यहां से बड़ी संख्या की वैल्यू आ गई। a का मान आएगा हैं भाज्य गु भाजक प्लस शेषफल है ना भाजक गुणा भागफल प्लस शेषफल 9b प्लस यह बड़ी 4:42:00 संख्या आएगी अगर मैं इसका डिजिटल सम निकालूंगा अगर आपको आता हो तो ये नौ का मल्टीपल नौ से कट जाएगा क्या बचेगा 41 यानी कि पांच तो यानी कि ये बड़ी संख्या जो भी होगी इसके अंकों का योग आएगा पांच ये दो होता है एक और एक दो ये छह होता है ये एक होता है तो क्या आंसर है 1 4 5 लेकिन लेकिन बहुत से बच्चों को ये बात नहीं पता है तो उनके लिए बेसिक जानना जरूरी है। ठीक है बच्चे? a का मान 9b + 41 आया। ये वैल्यू उठा के हम यहां रख देंगे। a की जगह क्या रखेंगे? 9b + 41 उसमें से b घटाएंगे। 9b में से b घटाएंगे तो क्या रह जाएगा? 8b + 41 = 2000 1 तो 8b = 2001 में से 41 घटाएंगे यानी कि 1960 1960 को अगर आठ से भाग करेंगे तो 8 * 2 = 16 3 8 * 4 = 32 8 * 5 b का मान यानी कि 4:43:00 छोटी संख्या आ चुकी है 245 लेकिन पूछ क्या रहा है बड़की संख्या तो बड़की संख्या चाहे b का मान यहां यहां रख दो चाहे यहां रख दो। दोनों से आ जाएगा। मैं यहां रख लेता हूं। बड़ी संख्या a की वैल्यू क्या आएगी? यह माइनस का b उधर जाके जुड़ जाएगा। यानी कि 2001 + 200 45 2001 में 245 जोडूंगा तो क्या आएगा? 2 4 ये बड़ी संख्या आ गई और इसके अंकों का योग होगा 6 4 10 2 14 तो इसका आंसर क्या है प्यारे बच्चों? 14 बताइए। कोई तकलीफ? ठीक है। आइए आगे चलते हैं। अगला कांसेप्ट आपके सामने और यही सबसे इंपॉर्टेंट कांसेप्ट है रिमाइंडर में। है कि नहीं गोविंद जी? चलो बताना। 4:44:03 मैं आपसे कहता हूं कि यदि यदि किसी संख्या n को हमें n का मान नहीं पता। यदि किसी संख्या n को 18 से भाग करने पर 18 से भाग करने पर शेषफल किसी संख्या n को 18 से भाग करने पर शेषफल 11 है। मान लीजिए किसी संख्या n को 18 से भाग करने पर शेषफल 11 है। ठीक है? किसी संख्या n को 18 से भाग करने पर शेषफल 11 प्राप्त होता है। तो मुझे बताइए उस उसी संख्या को छ से भाग करने पर शेषफल क्या होगा? बताओ उसी संख्या को छ से भाग करने पर शेषफल क्या आएगा? आर ईएम लिखा है ना रिमाइंडर बताओ बच्चों। बताइए किसी संख्या को 18 से भाग करने पर शेषफल 4:45:03 11 है। उसी संख्या को अगर छ से भाग किया जाए तो शेषफल क्या होगा? बताइए प्यारे बच्चों। देखो मान लीजिए कि जैसे आप किसी संख्या को 18 से भाग करते हैं। 18 से भाग करने पर शेषफल क्या आता है? छह। तो जब 18 से भाग करेंगे तो कुछ ना कुछ भागफल भी तो आएगा। कोशेंट भी तो आएगा। मान लीजिए मैंने क्या मान लिया? K मैंने क्या मान लिया प्यारे बच्चों? K. K मान लिया। अब हमने K मान लिया। ठीक है जी? सुनते रहिएगा। तो आप बताओ संख्या n की वैल्यू क्या आएगी? संख्या n की वैल्यू आएगी 18 * k + नहीं 11 यहां पे 11 है। सॉरी। संख्या को 18 से भाग करने पर शेषफल क्या है? 11 तो संख्या आएगी 18k + 11 ये संख्या आएगी। तो संख्या है प्यारे बच्चों 18k + 11 इसी संख्या को अगर छ से डिवाइड किया 4:46:03 जाए सेम संख्या है छ से डिवाइड किया जाए तो छ से भाग करने पर शेषफल क्या होगा? यही सवाल है कि नहीं? अब बताओ जब मैं छ से डिवाइड करूंगा तो अलग-अलग डिवाइड करूंगा क्योंकि बीच में क्या आ रहा है? प्लस तो 18k जो है यह ऑलरेडी छ का मल्टीपल है भाई। K का मान कुछ भी हो। 18 के भीतर क्या आ रहा है? छ। तो ये नंबर छह का मल्टीपल है। तो छ से भाग दूंगा तो पूरा-पूरा भाग हो जाएगा। यानी कि इसको छ से भाग करने पर शेषफल क्या आएगा? तो आप केवल 11 को छ से भाग करेंगे। 6 * 1 = 6 क्या बचेगा? शेषफल पांच। और 0 + 5 यानी कि पांच। तो रिमाइंडर क्या आएगा प्यारे बच्चों? पांच। सही है? लेकिन मैं आपसे पूछूं बताइए कि किसी संख्या n को 18 से भाग करने पर शेषफल 11 आता है। उसी संख्या n को मुझे आप बताओ उसी संख्या n को 13 से भाग करने पर शेषफल क्या आएगा? बताओ जरा। 4:47:08 13 से कर लो या सात से कर लो। उसी संख्या n को सात से भाग करने पर शेषफल क्या आएगा बताइए गोविंद जी बताओ अगर किसी संख्या n को 18 से भाग करने पर शेषफल 11 आ रहा है तो संख्या की जो स्टैंडर्ड फॉर्म होगी वो क्या होगी 18k + 11 जब मैं यहां k का मान कुछ भी हो सकता है K एक क्या है? भागफल है। K की वैल्यू कुछ भी हो सकती है प्यारे बच्चों। है कि नहीं? हो सकता है पहाड़ा एक बार गया हो। भाग दो बार गया हो, तीन बार गया हो। k कुछ भी हो सकता है। तो संख्या होगी 18k + 11। ये संख्या ऐसे चाहे k का मान वन हो, दो हो, तीन हो, चार हो, कुछ भी हो। हमेशा 18 से भाग करने पर शेषफल क्या आएगा? अगर इसी सेम संख्या को सात से डिवाइड किया जाए तो रिमाइंडर क्या आएगा? हमें k का मान नहीं 4:48:09 पता। अलग-अलग डिवाइड करेंगे। जब k का मान नहीं पता तो हमें यह भी नहीं पता कि 18 * k क्या है और 18 * k को सात से भाग करके शेषफल क्या आएगा? वी डोंट नो। यानी कि आप यहां से रिमाइंडर नहीं निकाल सकते। तो इसका आंसर आ जाएगा सी एंड डी। ज्ञात नहीं कर सकते। आंसर निकाला नहीं जा सकता। तो बच्चे यह तो रट लेते लेकिन यह जानते ही नहीं है। है कि नहीं भाई? चलिए तो रिमाइंडर तभी निकलेगा किसी संख्या को 18 से भाग करने पर अगर शेषफल 11 है तो 18 का ही फैक्टर क्या है? 18 का ही बच्चा है छह। तो प्यारे बच्चों आपको कुछ भी करने की जरूरत नहीं थी। सीधा 11 को छ से भाग कर लेंगे। शेषफल क्या आ जाएगा? पांच आ जाएगा कि नहीं? लेकिन जब आप किसी संख्या इनको 18 से भाग करने पर शेषफल 11 आ रहा है तो 18 4:49:10 का फैक्टर सात नहीं है। 18 का फैक्टर सेवन नहीं है। तो उस संख्या को सेवन से भाग करने पर शेषफल क्या आएगा? हमें नहीं पता। आई ना बात समझ में? कोई तकलीफ? कोई तकलीफ नहीं है। ठीक है बच्चों? मान लीजिए किसी संख्या n को 18 से भाग करने पर शेषफल 11 आता है। तो बताओ उस संख्या के पांच गुने को उस संख्या के पांच गुने को 18 से भाग करने पर शेषफल क्या आएगा? बताइए। किसी संख्या को 18 से भाग करने पर दिया यही गया है। शेषफल 11 आता है। पूछ रहा हूं उस संख्या के पांच गुने को 18 से भाग करने पर शेषफल क्या आएगा? बताओ वो अगर आपने संख्या का पांच गुना कर दिया। संख्या क्या है? अगर किसी संख्या को 18 से 4:50:13 भाग करने पर शेषफल 11 है। तो पहाड़ा कुछ भी जा सकता है। कशेंट कुछ भी हो सकता है। लेकिन संख्या क्या होगी? 18k + 11 ये संख्या हो गई कि नहीं? यह संख्या 18k + 11 आपने क्या कर दिया? संख्या का पांच गुना। अगर आप इस संख्या का पांच गुणा करोगे तो मुझे बताओ क्या आएगा? 5 * 18 90k और 11 + 55 यह संख्या बन जाएगी नहीं संख्या का पांच गुणा करने पर। और अगर मैं इस संख्या को 18 से भाग दूंगा। किससे? 18 से तो बीच में क्या है? यह नंबर ऑलरेडी 18 का मल्टीपल है। 18 से कट जाएगा। 18 * 5 = 90 भाई K का मान कुछ भी मुंह फुंकाता रहे। लेकिन 90 तो 18 से कट जाएगा। ये 90 गुणा समथिंग 18 का मल्टीपल 18 से भाग करने पर शेषफल ज़ीरो आएगा। आपको केवल किसको भाग देना है? 55 को भाग देना है। 18 से 18 * 3 = 54। शेषफल क्या आएगा? एक। यानी कि रिमाइंडर आएगा एक। 4:51:14 तो आपने एक बात गौर करी कि हम अगर किसी संख्या को 18 से भाग कर रहे हैं शेषफल 11 है। अगर 18 का ही फैक्टर है तो प्यारे बच्चों केवल 11 को ही रिमाइंडर को ही भाग कर लो। क्या आ जाएगा? पांच। लेकिन अगर फैक्टर नहीं है तो आंसर आएगा कैन नॉट बी डिटरमाइंड। समझे बच्चे? आपने संख्या का पांच गुना कर दिया। संख्या का पांच गुना कर दिया। पहले 18 से भाग कर रहे अब भी किससे भाग कर रहे हैं? संख्या नहीं बदली। पहले भी 18 से भाग कर रहे थे। अब भी 18 से ही भाग कर रहे हैं। तो अगर आपने संख्या का पांच गुना करा तो आपने एक बात गौर करी कि ये जो चीज है ये तो ऑलरेडी 18 से कट ही जाएगी। कट ही जाएगी ना? केवल रिमाइंडर का ही पांच गुना हो गया कि नहीं? 11 * 5 और 55 तो रिमाइंडर आ नहीं सकता। इसलिए आपने 55 को वापस 18 से भाग करा। शेषफल क्या आया? तो जो एक्शन आप नंबर में 4:52:14 कर रहे हो अगर आपने संख्या को पांच गुना किया तो रिमाइंडर भी क्या आएगा? पांच गुना आएगा। समझ में आया प्यारे बच्चों? क्योंकि आपने संख्या को पांच गुना किया तो शेषफल भी 11 का पांच गुना आया है 55 और 55 को वापस 18 से भाग करेंगे। शेषफल क्या आएगा? वन। है ना बच्चे? मान लीजिए इसी सवाल में मैं आपसे पूछता कि बताओ 7n को 18 से भाग करने पर शेषफल क्या आएगा? बताइए। किसी संख्या को 18 से भाग करने पर शेषफल 11 आता है। उसी संख्या के सात गुने को 18 से भाग करने पर शेषफल क्या आएगा? तो देखिए पहले आप 18 से भाग कर रहे थे। अब भी किससे भाग कर रहे हो? संख्या नहीं बदली आपने। आप 18 से ही भाग करो। डिवीजर सेम है। संख्या का सात गुना कर दिया तो जो एक्शन नंबर में होगा सेम वही एक्शन रिमाइंडर में होगा। याद रख लीजिए जो एक्शन संख्या में कर रहे हो वही 4:53:17 एक्शन रिमाइंडर में भी होगा। अगर आपने संख्या n का सात गुना कर दिया तो रिमाइंडर भी 11 का सात गुना आना चाहिए 77। लेकिन क्या कभी 18 से भाग करने पर शेषफल 77 आ सकता है? तो 77 को हम लोग वापस 18 से भाग करेंगे। 18 * 4 18 * 4 = 72 कट जाएगा। शेषफल क्या आएगा? पांच। पांच आएगा। जी। अब आया बात समझ में? तो जो एक्शन संख्या में होगा वही रिमाइंडर में होना चाहिए। ठीक है बच्चों? है ना? 77 18 से बड़ा आ गया। अब 77 तो आ नहीं सकता 18 से भाग करने पर। इसलिए 77 को वापस 18 से काटेंगे। शेषफल क्या आएगा? पांच। बताइए प्यारे बच्चों। यह करो जरा। यदि किसी संख्या n को 51 से भाग करने पर शेषफल 24 है तो उसी संख्या को 17 से भाग करने पर शेषफल 4:54:18 क्या आएगा? तो 51 का ही बच्चा है 17। अगर किसी संख्या को 51 से भाग करने पर 24 आ रहा है [गला साफ़ करने की आवाज़] तो उसी संख्या को 17 से भाग करने पर भी शेष आ सेम ही आएगा। 24 क्योंकि जो एक्शन नंबर में वही रिमाइंडर में संख्या तो सेम ही है। लेकिन क्या कभी 17 से भाग करने पर 24 आ सकता है? आप 24 को वापस 17 से काटेंगे तो 17 * 1 = 17 शेषफल क्या बचेगा? सात। तो रिमाइंडर आएगा सात। किसी संख्या n को 51 से भाग करने पर शेषफल 24 है। उस संख्या को 20 से भाग करने पर शेषफल क्या आएगा? 20 से। तो 51 का बच्चा 20 तो अगर किसी संख्या को 51 से भाग करने पर शेषफल 24 है। 20 से भाग करने पर शेषफल क्या आएगा? ज्ञात नहीं कर सकते। कांट बी डिटरमाइंड। समझे प्यारे बच्चों? यह बताइए जरा। 4:55:19 किसी संख्या को 21 से भाग करने पर शेषफल आठ है। उस संख्या को उस संख्या के चार गुने को सेम ही नंबर से भाग कर रहा हूं। नंबर नहीं बदला। किससे? 21 से डिवाइड करने पर रिमाइंडर क्या आएगा? पहले भी 21 से भाग कर रहे थे। अब भी 21 से आपने संख्या क्या कर दिया? चार गुना। तो शेषफल भी क्या आना चाहिए? चार गुना। शेषफल भी आठ का चार गुना आना चाहिए। 32 8 * 4 क्या 21 से भाग करने पर 32 आ सकता है? 21 से भाग करें तो 21 से छोटा ही आएगा। 32 को वापस 21 से काटेंगे। 21 * 1 = 21 शेषफल क्या आएगा? 11। 2n + 5 को 21 से भाग करने पर शेषफल क्या आएगा? अगर किसी संख्या को 21 से भाग करने पर शेषफल आठ है। उस संख्या के दुगने में पांच जोड़ दिया जाए। फिर 21 से भाग करें तो शेषफल क्या आएगा? जो एक्शन नंबर में होगा वही रिमाइंडर में होगा। आपने संख्या का दुगना किया तो 4:56:21 रिमाइंडर भी आठ का दुगना हो जाएगा 16 और प्लस 5 यानी कि 21। अब 21 से भाग करने पर तो 21 नहीं आएगा। 21 को 21 से भाग करेंगे। पूरा कट के शेषफल क्या आएगा? आंसर क्या हुआ? समझना बच्चों। किसी संख्या को 21 से भाग करने पर शेषफल आठ है। उस संख्या के स्क्वायर को 21 से भाग करने पर शेषफल क्या आएगा? भाई पहले भी 21 से भाग कर रहे थे। अब भी आपने संख्या का क्या कर दिया? तो भैया रिमाइंडर में भी आठ का क्या होना चाहिए? यानी कि 64। क्या 21 से भाग करने पर कभी 64 आ सकता है? 64 को वापस 21 से काट लेंगे। 21 * 3 = 63 शेषफल क्या आएगा? एक। ठीक है? किसी संख्या n को 21 से भाग करने पर शेषफल आठ है। ठीक है? मैं आपसे पूछता हूं इस संख्या के पांच गुने को इस संख्या के पांच गुने को किससे प्यारे 4:57:23 बच्चों? सात से भाग करने पर रिमाइंडर क्या आएगा? समझे बच्चों? तो हम पहले संख्या n को भाग कर रहे थे 21 से। अब भाग कर रहे हैं किससे? सात से बदल दिया। लेकिन 21 का ही फैक्टर है सात। तो कोई दिक्कत नहीं आएगी। 21 का ही फैक्टर है सात। अगर कोई संख्या 21 से कट रही है तो सात से भी कट ही जाएगी। आप बताओ संख्या का हमने पांच गुना कर दिया। तो रिमाइंडर भी आठ का पांच गुना आना चाहिए। यानी कि रिमाइंडर भी आठ का पांच गुना आना चाहिए। 40 क्या सात से भाग करने पर कभी 40 आ सकता है? नहीं। 40 को वापस सात से काटेंगे। 7 * 5 = 35 शेषफल क्या आएगा? बस इतना ही कांसेप्ट है। है कि नहीं बच्चों? कांसेप्ट इतना ही है। जरा इस पर मुझे सवाल करके दिखाओ। आप लोग करना हैं। एक संख्या को 459 से विभाजित करने पर हमें शेषफल 19 प्राप्त होता है। उसी संख्या को 4:58:25 17 से डिवाइड किया जाए तो शेषफल क्या होगा? समझे? पूरा बता रहा हूं आपको डिटेल में। हमें कोई संख्या नहीं पता। मान लीजिए जैसे कोई संख्या n है। किसी संख्या n को 459 से डिवाइड करने पर शेषफल आता है 19। यही बोला है ना बच्चों? जब उसी संख्या को उसी सेम नंबर को 17 से डिवाइड किया जाता है। किससे? 17 से डिवाइड किया जाता है तो शेषफल क्या होगा? बताइए बच्चे? तो 459 का ही बच्चा है 17 17 * 2 = 34 और 11 17 * 7 = 119 तो अगर 459 से भाग करने पर 19 आ रहा है तो 17 से भाग करने पर भी सेम 19 आएगा लेकिन 17 से भाग करने पर 19 तो होगा नहीं तो 19 को वापस 17 से काटेंगे 17 * 1 = 17 शेषफल क्या आएगा दो तो इसका आंसर क्या है दो है ना हालांकि यहां कैन 4:59:26 नॉट बी डिटरमाइन है ही नहीं तो यह चेक करने की भी जरूर जरूरत नहीं है फैक्टर वाली बात। ठीक है? आओ अगला सवाल। यह बताओ जरा। [गला साफ़ करने की आवाज़] जो एक्शन नंबर में होगा वही सेम रिमाइंडर में होगा। एक संख्या n को 13 से भाग करने पर शेषफल तीन आता है। यही है? तो सवाल है 7n को 13 से भाग करने पर शेषफल ज्ञात कीजिए। 7n को 13 से भाग करने पर पहले भी 13 से भाग कर रहे थे। अब भी आपने संख्या का सात गुना कर दिया तो शेषफल भी तीन का सात गुना होगा। क्यों होगा? मैं इसका कारण बता चुका हूं। है ना? 13 से भाग करने पर 21 तो आएगा नहीं। 21 को 13 से काटेंगे। 13 * 1 = 13 क्या आएगा? शेषफल आठ। ऑप्शन नंबर ए। बताइए बच्चे। करो। 5:00:27 हैं। [हंसी] किसी संख्या को 14 से भाग करने पर शेषफल नौ है। मान लीजिए जैसे कोई संख्या n है। इस संख्या को अगर 14 से भाग करते तो शेषफल क्या आता है? नौ। बोला इस उसी संख्या के वर्ग को अगर उसी संख्या के स्क्वायर को आप 14 से भाग करेंगे तो 14 से भाग करने पर शेषफल क्या आएगा? संख्या का स्क्वायर करा तो रिमाइंडर का भी क्या होगा? स्क्वायर। रिमाइंडर भी 9 का स्क्वायर आना चाहिए। 81 लेकिन क्या 14 से भाग करने पर 81 आ सकता है? नहीं। 81 को वापस 14 से काटेंगे। 14 * 5 70 कट जाएगा। शेषफल क्या आएगा? रिमाइंडर है 11। ऑप्शन नंबर ए। हैं बच्चों? बढ़िया है ना? यह बताइए जल्दी से। हम बताओ जरा पेपर का पूछो सवाल है काफी 5:01:28 पुराना 10 साल से भी पहले आया था एक संख्या को 442 से भाग देने पर 49 शेषफल आता है। ठीक है ना? ज्ञात कीजिए कि 39 से भाग करने पर कितना शेषफल बचेगा? 90% बच्चे सवाल का आंसर 10 बताएंगे क्योंकि उन्होंने कांसेप्ट नहीं समझा। उन्होंने क्या कर रखा है? रट रखा है। मैंने यह जो आपको कांसेप्ट समझाया है ना कांसेप्ट ये बहुत बड़ी ताकत है ये वाली चीज है ना कि भैया जैसे-जैसे संख्या में गुणा करोगे वैसे ही होता जाएगा। रिमाइंडर में भी गुणा है कि नहीं बच्चों? जो एक्शन नंबर में वही रिमाइंडर में। अब किसी संख्या को जैसे n है। मान लीजिए कोई संख्या n है। 442 से भाग कर रहे हैं तो 442 से भाग करने पर शेषफल है 49। अब सवाल है उसी संख्या को 39 से भाग 5:02:29 करने पर कितना शेषफल बचेगा? उसी संख्या को 39 से भाग करेंगे तो शेषफल क्या आएगा? आप जानते हैं कि यहां 442 का फैक्टर 39 नहीं है। 39 * 1 = 39 52 बच गया। यानी कि प्यारे भाई संख्या को 442 से भाग करने पर 49 शेषफल आ रहा है। तो 39 से भाग करने पर शेषफल क्या आएगा? नहीं पता लगा जा सकता। तो आंसर क्या है? डी। कैन नॉट बी डिटरमाइंड। 10 नहीं है। क्या है? सी एंड डी। समझे? के 442 का फैक्टर 39 नहीं है। समझे? चलिए आगे चलो जरा। ये बताओ प्यारे दोस्तों। अरे नहीं अभी तो मजेदार सवाल आएंगे। करो हैं। [हंसी] 5:03:33 [हंसी] इतनी तो वैकेंसी भी ना जितने रात को 1:30 बजे पढ़ने लग रहे हैं। ये हैं दिनेश जी हम [हंसी] दो संख्याएं अलग-अलग 33 से भाग करने पर 21 और 28 शेषफल देती हैं। उन संख्याओं के योग को 33 से भाग किया जाए तो शेषफल क्या होगा? हालांकि पूरा लिखने की जरूरत नहीं पर मैं आपको बता देता हूं बेसिक से। मान लीजिए दो संख्याएं हैं अलग-अलग a और b यही है। अब A को 33 से भाग किया जाता है और B को 33 से भाग किया जाता है तो भाग करने पर शेषफल क्या आता है? 21 और 28 आता है। आप बोलोगे सर बहुत बढ़िया आ रहा है शेषफल। यदि उन दो संख्याओं का योग दोनों संख्याओं के योग को 33 से भाग करेंगे तो शेषफल क्या आएगा भाई? 33 से ही भाग कर रहे हैं हर बार। आपने संख्याओं को जोड़ दिया a और b 5:04:33 को तो शेषफल भी क्या आ जाएगा? जुड़ जाएगा। जो एक्स्ट्रा नंबर में वही रिमाइंडर में तो शेषफल भी आना चाहिए। 21 + 28 49 क्या 33 से भाग करने पर कभी शेषफल 49 होगा? 49 को वापस 33 से भाग करेंगे। 33 * 1 = 33 शेषफल क्या आएगा? तो इस सवाल का आंसर है समझे ना? सब बच्चों ने कर लिया। यह बताइए भाई करो। जब पॉजिटिव [हंसी] जब पॉजिटिव नंबर x y और z को 124 से भाग किया जाता है तो 17 24 और 27 रिमाइंडर आता है। पूछा 4x - 2y + 4x - 2y + 3z को 31 से डिवाइड करने पर शेषफल ज्ञात कीजिए। ये सवाल है। है कि नहीं बच्चों? बताओ। देखो तीन नंबर अलग-अलग 5:05:37 है। x, y और z. x, y और z को 124 से भाग कर रहे हैं। x को 124 से भाग कर रहे हैं। रिमाइंडर है 17। y को 124 से भाग करें रिमाइंडर है 24 z को 124 से भाग करें रिमाइंडर है पूछा है 4x - 2y + 3z को 31 से भाग करने पर रिमाइंडर क्या आएगा तो 124 का ही फैक्टर है 31 तो कोई दिक्कत नहीं है पहले 124 से भाग कर रहे थे अब उसके बच्चे से भाग कर रहे हैं आपने x का चार गुना किया - y का दोगना किया z का तीन गुना तो जो एक्शन नंबर में हो रहा है वही रिमाइंडर में होगा x को भाग करने पर रिमाइंडर 17 है तो 17 का चार गुणा माइनस y को 124 से भाग करने पर शेषफल 24 है। आपने - y का दुगना कर दिया तो 24 का दुगना + 3z 3z कितना आएगा? 27 * 3 68 - 48 20 और 81 100 बताओ क्या 31 से भाग करने पर शेषफल 101 आ सकता है। 31 से भाग करें तो शेषफल 31 से 5:06:38 छोटा ही आएगा। 101 को वापस 31 से काटेंगे। 31 * 3 = 93 शेषफल क्या आएगा? कौन सा ऑप्शन निकला? जी बी। आइए बताइए। चलो सीजीएल 2022 प्री का सवाल है। जो कहते हैं ना कि बेसिक की क्या जरूरत है? ट्रिक बता दो। हैं कि यह कर लेना, ये कर लेना। इस सवाल में खोपड़ी के चार हो जाएंगे उनके। बताइए जी। रटने वालों के सोचो कितना बेहतरीन सवाल है। ऐसा सवाल आया था। हालांकि मैंने इसका डाटा थोड़ा चेंज करके बढ़िया बनाया है अपनी तरफ से। बताइए जी। 5:07:35 किसी संख्या को 129 से भाग किया जाता है तो शेषफल 27 है। इस संख्या के चार गुने को 86 से भाग कर रहे हैं तो शेषफल क्या होगा? पहले हम संख्या को भाग कर रहे थे 129 से। अब हम भाग कर रहे हैं 86 से। संख्या तो बदल दी। 129 का फैक्टर 86 नहीं है। पर फिर भी आंसर निकल रहा है क्योंकि कहीं भी ऑप्शन में कैन नॉट बी डिटरमाइन नहीं है। तो दिमाग लगाओ सारा खेल जो है वो कांसेप्ट क्या है? मान लो जैसे कोई संख्या n है। जब आप इसको 129 से भाग करते हो तो 129 से भाग करने पर शेषफल है। तो भाग करने पर कुछ ना कुछ भागफल भी आया होगा कि माना कशंट आया k तो संख्या क्या होगी? संख्या रही होगी 129 * k + 27 यह संख्या होगी। है कि नहीं बच्चों? अब हमें इस संख्या का चार गुना करना है। फोर 5:08:37 टाइम्स करना है। जब मैं इस संख्या का चार गुना करूंगा। चार से गुणा करूंगा तो यहां भी चार से गुणा होगी। ये हो जाएगा 129 k का चार गुना यानी कि 4 * 129 k प्लस ये क्या आ जाएगा प्यारे बच्चों? 27 का 4 * 108 है ना मैंने यहां भी चार से गुणा कर दी यहां भी चार से गुणा कर दिया यह सोचना अब हमें इस नंबर को डिवाइड करना है किससे 80 तो इस पूरे नंबर को 86 से डिवाइड करना है कि नहीं बच्चों बताओ बीच में क्या आ रहा है प्लस तो दोनों को अलग-अलग डिवाइड करना पड़ेगा अलग-अलग करना पड़ेगा 86 क्या ठहरा 86 ठहरा 43 * 2नी 86 43 * 2 = अब आप देखो यह जो नंबर है यह वाला नंबर 129 क्या होता है? 43 * 3 43 तिया 12 139 के अंदर 43 आ गया और चार से 5:09:40 गुणा कर दी चार के अंदर। यानी कि ये नंबर 43 और दो दोनों से कट गया। यानी कि ये पूरा कॉम्बिनेशन ऐसा बना कि 86 से पूरा पूरा डिवाइड हो जाएगा कि नहीं? K का मान पता हो या ना पता हो। K तेल लेने। लेकिन ये जब मैंने चार से गुणा करा तो 129 43 से कट रहा है और चार के भीतर दो आ रहा है। तो 129 * 4 86 से पूरा-पूरा साफ हो गया। तो ये नंबर 86 से पूरा-पूरा डिवाइड होगा। शेषफल क्या आएगा? क्योंकि ये 86 का क्या बन गया? मल्टीपल चाहे के कुछ भी रहे। केवल 108 को 86 से भाग करेंगे। 86 * 1 = 86 शेषफल क्या बचेगा? 22 और 0 + 22 यानी कि है ना मस्त सवाल? है ना? बाकी कचरा क्या करेगा? 129 से भाग करने पर सर ये 86 से भाग करने पर कैन नॉट बी डिटरमाइंड। हैं? चलिए। अरे तीन सवाल रह गए। अब 5:10:41 चलो ध्यान से सुनना। अभी देखना मजा आएगा। आखरी कांसेप्ट क्या है आखिरी कांसेप्ट सुनना कासेप्ट इज द किंग और ट्रिक इज द क्वीन भी नहीं कहेंगे जो अकबर लोग रखते थे ना दुनिया भर की वो समझे चलो किसी संख्या को 16 से भाग करने पर रिमाइंडर 11 है। किसी संख्या को 16 से भाग करने पर शेषफल 11 है। यदि। तो बताओ उस संख्या के पांच गुने को 16 से भाग करने पर शेषफल क्या आएगा? मैं पढ़ा चुका हूं। यदि किसी संख्या को 16 से भाग करने पर शेषफल 11। मैंने संख्या का पांच गुना कर दिया तो रिमाइंडर भी 11 का पांच गुना हो जाएगा। हैं सचिन 55 लेकिन क्या कभी 16 से भाग करने पर शेषफल 55 आ सकता है। तो हम इस 55 5:11:41 को वापस 16 से भाग करेंगे। 55 को वापस 16 से भाग करेंगे। करेंगे। यह 55 होता है। मैं 55 को लिख सकता हूं। 48 + 7 मैं इसको 16 से भाग करूंगा। तो ये 48 16 से पूरा-पूरा कट गया। यानी कि 16 का जो पापा था 55 के अंदर वो कट गया। तो रिमाइंडर क्या बचा केवल? सात। रिमाइंडर बचा सात। ये तो आप बात जान गए पर यहां से यहां के पहुंचने के प्रोसेस में एक कांसेप्ट बना कि भैया अगर आपने संख्या को पांच गुना करा तो रिमाइंडर भी पांच गुना होना चाहिए। रिमाइंडर पांच गुना आना था 55 लेकिन रिमाइंडर 16 से भाग करने पर 55 तो आएगा नहीं। तो 48 16 से कट जाएगा क्योंकि यह जो 48 है यह 16 का एक मल्टीपल है। समझ में आया कि नहीं? या फिर मैं कहूं कि 5:12:44 16 जो है वो 48 का एक फैक्टर है। तो जो चीज कटी है प्यारे बच्चों उसी का फैक्टर है आपका 16 यानी कि डिवीजर। समझे ना मेरे भाई? बात हल्की और मामूली लग रही होगी। पर ऐसा सवाल मैं आपको दूंगा ना कि दिल मौज में आ जाएगा। सवाल देखो रेलवे एनटीपीसी 12th लेवल सीबीटी वन 2025 का जो अभी पेपर हुआ है 2026 में कुछ ही दिन पहले उसका सवाल है। जरा कर लो आप। मैंने अपने घर में नहीं बनाया सवाल। आंसर की हमने डलवा दी है Telegram चैनल पे। है ना? ये आंसर की देखो डली हुई है। हम टेलीग्राम चैनल सब ज्वाइन कर लो। हां कोई भी पेपर हुआ उसकी आंसर की सबसे पहले इस यहां पे आती है। ठीक है? एक पॉजिटिव नंबर है n। हेमन खेड़े इस पॉजिटिव नंबर n को 228 से भाग करने पर शेषफल के रूप में 18 आता है। शेषफल के रूप 5:13:45 में क्या आता है? 18 कोई दिक्कत नहीं। सवाल में आपसे बोला है n का सबसे बड़ा दो अंकीय मान क्या है? व्हाट इज द ग्रेटेस्ट टू डिजिट वैल्यू ऑफ n? है बच्चों? किसी संख्या को 228 से भाग करने पर शेषफल क्या आता है? 18 प्राप्त होता है। n की ग्रेटेस्ट वैल्यू बताओ। टू डिजिट। n की दो डिजिट ग्रेटेस्ट वैल्यू क्या है? बताइए। 5:14:22 बताओ ए पॉजिटिव नंबर n डिवाइड्स टू टू टू 8 लीविंग ए रिमाइंडर ऑफ़ 18 व्हाट इज द ग्रेटेस्ट डिजिट वैल्यू ऑफ़ n? ये गलत सवाल है भाई। नहीं नहीं ये उल्टा बोल दिया। उल्टा लिख दिया मैंने। एक पॉजिटिव नंबर n 228 को डिवाइड करता है। मैंने उल्टा लिख दिया प्यारे बच्चों। क्या लिख दिया? उल्टा। अब ऐसे ही। ठीक है ना? एक पॉजिटिव इंटीजर n है जो 228 को डिवाइड करता तो डिवाइड करने पर शेषफल 18 आता है। ठीक है ना? तो बताइए यहां पर n की दो अंकों की सबसे बड़ी संख्या क्या है? n की ग्रेटेस्ट टू डिजिट जो है वह वैल्यू क्या है? बताइए। सोचो जरा। सचिन सोचो 228 को एक पॉजिटिव नंबर n से डिवाइड किया जाता है। शेषफल क्या आ रहा है? 18। ठीक है 5:15:24 मेरे भाई? तो बताइए सबसे बड़ा दो अंकीय मान क्या है? अब बताओ 228 का मतलब हुआ 210 + 18 जब मैं 228 को भाग करता हूं n से तो भाग करने पर शेषफल केवल 18 बचा। यही शेषफल बचा। यानी कि 210 पूरा का पूरा n से कब कटा होगा? यानी कि संख्या n जो भी होगी प्यारे बच्चों वो 210 का एक फैक्टर होगी। प्यारे बच्चों संख्या n यानी कि डिवीजर जो भी होगा 210 का एक बच्चा होगा। 210 का कौन सा बच्चा है जो दो अंकों का है सबसे बड़ा? 210 का फैक्टर होगा प्यारे बच्चों। कौन सा फैक्टर है जो दो अंकों का सबसे बड़ा है? तो 210 का तीन से कटता है 70 * 3 = 200 10 5:16:28 तीन तो सिंगल डिजिट है भाई 210 का मतलब 140 105 का दुगना 105 तो तीन डिजिट है तो यानी कि क्या है 70 क्या है तो आंसर क्या है बताओ मस्त है कि नहीं ठीक है बच्चे ये भी आसान था ये वाली चीज आप समझो जरा जब एक पॉजिटिव पूर्णांक को d से डिवाइड किया जाता है तो रिमाइंडर 25 आता है। जब उसी संख्या के आठ गुने को d से डिवाइड करते हैं तो रिमाइंडर आठ आता है। d की लीस्ट पॉसिबल वैल्यू क्या है। हमें नहीं पता कि क्या पॉजिटिव इंटीजर है। सवाल कह रहा है कि जब किसी पॉजिटिव इंटीजर को d से डिवाइड करते हैं तो डिवाइड करने पर शेषफल 25 आता है। जब किसी पॉजिटिव इंटीजर को डिवाइजर d से भाग करते हैं तो डिवाइड करने पर रिमाइंडर क्या आता है? 25 सवाल कह रहा 5:17:30 है जब उस संख्या के आठ गुने को उस संख्या के आठ गुने को सेम डिवीजर से डिवाइड करते हैं। सेम डिवीजर से डिवाइड करते हैं तो डिवाइड करने पर शेषफल आठ आता है। ठीक है ना बच्चों? अब बताइए जरा उस संख्या के आठ गुने को सेम डिवीजर से भाग करते हैं तो शेषफल आठ आता है। अब बताओ पहले भी D से भाग कर रहे थे। अब भी D से भाग कर रहे हैं। डिवीजर तो सेम है। आपने संख्या का आठ गुना कर दिया। तो शेषफल भी 25 का आठ गुना आना चाहिए। सेल्फ शेषफल कितना आना चाहिए। 25 का आठ गुना शेषफल आना चाहिए 200। लेकिन शेषफल आता कितना है? शेषफल तो कह रहा है आठ आना चाहिए। शेषफल आना चाहिए 200 पर। सवाल के अनुसार शेषफल आठ आ रहा है। क्यों? क्योंकि 200 को हमने वापस डिवाइड करा होगा d से। है ना? 200 को हम वापस d से डिवाइड करेंगे। प्यारे बच्चों ध्यान से सुनिएगा। 200 को वापस डिवाइजर से डिवाइड करेंगे। 200 का मतलब 5:18:32 क्या है? 192 + 8 तो शेषफल केवल आठ ही बचा। यानी कि ये 192 डिवाइजर से पूरा पूरा कट [गला साफ़ करने की आवाज़] गया। कट गया कि नहीं? कट गया। यानी कि डिवाइजर जो भी होगा वो 192 का एक फैक्टर होगा। 192 का बचा होगा। डिवाइजर ऐसी संख्या होगी जो 192 को पूरा-पूरा कट कर देगी। है ना बच्चों? 192 को पूरा-पूरा कट कर देगी। तो 192 कट जाएगा। बचेगा क्या शेषफल? है ना? तो डिवाइजर जो होगा वह 192 का एक फैक्टर होगा। लेकिन पूछा है डिवाइजर की यानी कि d की मिनिमम वैल्यू बताओ। न्यूनतम संभव मान क्या है? आप बताइए प्यारे बच्चों। डिवाइजर 192 का एक फैक्टर है। 192 के तो दुनिया में बहुत सारे फैक्टर हैं। लेकिन क्या? क्या क्या पूछा है आपको? मिनिमम वैल्यू। अगर किसी संख्या को d से भाग करने पर 5:19:34 शेषफल 25 आ रहा है या d से भाग करने पर शेषफल आठ आ रहा है तो डिवाइजर का जो भी मान होगा वो 25 से बड़ा होगा। शेषफल हमेशा ही डिवीजर से क्या होता है? छोटा। यानी कि डिवीजर हमेशा शेषफल से बड़ा होता है। अगर किसी संख्या को d से भाग करने पर शेषफल 25 आ रहा है तो डिवाइजर का जो मान होगा प्यारे दोस्तों वो 25 से बड़ा होगा। किसी संख्या को d से भाग करने पर शेषफल 25 आ रहा है। तो डिवाइजर की जो वैल्यू रही होगी वह क्या होगी? 25 से। तो यानी कि डिवाइजर ऐसा संख्या होगा जो 25 से बड़ा भी होना चाहिए हमेशा। और डिवाइजर 192 का एक 192 का कौन सा बच्चा 25 से बड़ा है? ये तो होगा नहीं। 192 28 से नहीं कटता, 36 से नहीं कटता। कौन सा है? 32। 32 ही प्यारे बच्चों सबसे छोटी संख्या है जो आपका 5:20:37 192 का फैक्टर है और 25 से बड़ी है। आया हुआ सवाल है। 24 तो संभव ही नहीं है आंसर। 192 का फैक्टर 24 है। लेकिन 24 तो डिवाइजर की वैल्यू हो ही नहीं सकती। क्योंकि किसी संख्या को क्या 24 से भाग करने पर 25 आ सकता है? नहीं आ सकता ना? हैं बच्चों। मान लीजिए इसी सवाल में आपसे यह पूछ लिया होता कि डिवाइजर की कितनी वैल्यू संभव है? ये भी पूछ सकता है ना? डिवाइजर की कितनी वैल्यू संभव है। बताओ। तो अगर डिवाइजर 192 का फैक्टर होना चाहिए तो डिवाइजर 192 हो सकता है। 192 का आधा चले 96 होता है। हो सकता है। 192 / 3 64 हो सकता है। है ना? 192/4 48 हो सकता है। पांच से तो कटेगा नहीं। 192 / 5:21:39 192/ 6 32 हो सकता है और 192/8 24 आप n का मान ले नहीं सकते। डिवाइजर का मान को किस संख्या को d से भाग करने पर 25 आ रहा है। डिवाइजर जो भी होगा 25 से बड़ा होगा। तो डिवाइजर की कुल कितनी वैल्यू पॉसिबल हैं? पूछा होता d के मान कितने संभव है? पांच। और उनमें सबसे छोटा क्या होगा? यही पूछा है। दोनों सवाल बन सकते हैं। यह सीख लिया मेरे भाई। यह बताइए जरा। आखिरी सवाल आज की क्लास का। ठीक है? इस कांसेप्ट का आखिरी सवाल। बच्चा गुड मॉर्निंग कर रहा है। [हंसी] रात कब निकल गई? पहले ही बताओ। बताओ जब किसी संख्या को d से भाग किया जाता है 5:22:40 तो शेषफल 10 है। हमने मान लिया जैसे कोई संख्या n है। इस संख्या को d से भाग करते हैं तो शेषफल 10 है। सवाल है n² को d से भाग किया जाता है तो शेषफल चार है। n² को d से भाग किया जाता है तो शेषफल चार बचता है। d के कितने मान संभव है? यही है। है सचिन? बताओ d के कितने मान होंगे? अगर किसी संख्या को d से भाग करने पर शेषफल 10 आ रहा है। तो उस संख्या का स्क्वायर करोगे। भाग तो d से ही कर रहे हो। तो शेषफल भी क्या आएगा? 10 का स्क्वायर। 100 आना चाहिए। लेकिन सवाल कह रहा है संख्या के स्क्वायर को d से भाग करने पर शेषफल चार आता है। शेषफल 100 नहीं आता। शेषफल क्या आता है? चार। 100 का मतलब है 96 प्लस। शेषफल केवल चार आया। यानी कि 96 क्या आ गया? 96 जो है डिवीजर से पूरा पूरा कट गया। है कि नहीं? 5:23:41 खत्म हो गया होगा। यानी कि डिवाइजर जो भी होगा प्यारे बच्चों वो 96 का एक फैक्टर होगा। होगा कि नहीं होगा? बताइए। डिवाइजर 96 का एक फैक्टर होगा। अगर किसी संख्या को d से भाग करने पर शेषफल 10 है या d से भाग करने पर शेषफल चार है तो डिवाइजर जो भी होगा वो 10 से बड़ा होना चाहिए ना। 10 से डिवाइजर से भाग करने पर शेषफल 10 आ रहा है। डिवीजर की वैल्यू 10 से बड़ी होगी। तो ये बताओ कि डिवाइजर 96 का एक बच्चा है और डिवाइजर जो है वो 10 से बड़ा भी है। तो यानी कि डिवाइजर के क्या-क्या मान हो सकते हैं? एक तो खुद 96 96 का फैक्टर 96 का आधा 48 / 32 और कितना फिर 24 और 16 भी आ सकता है। 12 भी आ सकता है। वैसे तो 96 8 से भी कटेगा लेकिन 10 से छोटा नहीं ले सकते। तो कितनी वैल्यू आएंगी? 1 2 3 4 छ वैल्यू तो 5:24:44 डिवीजर के छह मान समय आंसर क्या आएगा बताओ आया है [हंसी] 5:25:04 टफ है क्या 5:25:13 [हंसी] चलो खत्म 24 घंटे [हंसी] चलिए इसी के साथ प्यारे दोस्तों आज की क्लास होती है समाप्त ठीक है जी अब प्यारेप्यारे दोस्तों अरे कहां मर गया जी हमरा ये रहा और हम आपको हमारे साथ इतनी देर तक पढ़ने के लिए धन्यवाद व्यक्त करते हैं। ससुरा पढ़ाएं भी हम और धन्यवाद भी हम करें तुम्हारी ऐसी तैसी। ठीक है बच्चों? तो सब बच्चे हमारा YouTube चैनल सब्सक्राइब कर लेंगे। काफी लंबी मेहनत हुई है। एक दिन का हम गैप रखते हैं। यानी कि अब एक दिन के बाद यानी कि कल ही। [हंसी] प्यारे बच्चों फिर से क्लास होगी नंबर सिस्टम की दूसरी और आखिरी क्लास। उसमें नंबर सिस्टम का हम सुपड़ा साफ कर देंगे। हालांकि जो सबसे इंपॉर्टेंट चीजें थी क्लासिफिकेशन ऑफ नंबर्स भाज्य भाजक शेषफल 5:26:14 ये हो चुका। अब एक ही इंपॉर्टेंट चीज बची है डिविजिबिलिटी रूल जिसे हम कल जो है नेक्स्ट क्लास में करेंगे। ठीक है मेरे भाई मजा आया? कैसा लगा आपको आज की क्लास करके मुझे एक बार कमेंट में जरूर बताओ मेरे भाई। है ना? इसकी पीडीएफ सवालों का कंपाइलेशन कांसेप्ट की पीपीटी एज इट इज बोर्ड की पीएजी आपको टेलीग्राम चैनल पर मिलेंगी। सब बच्चे टेलीग्राम चैनल जाकर ज्वाइन कर लो। ठीक है बच्चों? टेस्ट हैं एप्लीकेशन सब फोन में लगा लीजिए। यहां पे आपको बूस्टर बने हुए हैं प्यारे बच्चों। यहां प्रीवियस ईयर के ये क्वेश्चंस हैं। जो भी चैप्टर आपने पढ़ा उसी के आपको प्रीवियस ईयर के सवाल लगाने को मिल जाएंगे। ठीक है ना मेरे भाई? चलिए मजा आया? आनंद आया पढ़ने में। ऐसे ही चलता रहेगा बिल्कुल बेसिक से और मैंने अच्छे से समझाया है। ठीक है? आज इतना ही। बाकी करेंगे हम एक और 1 लाख का रिकॉर्ड फिर से
